Текст задания и исходные данные.
В ходе тренажей по аэродромному контролю средств наземного обслуживания в 70 наблюдениях были зафиксированы следующие результаты времени контроля одного ТЗ-22 
(минут) – в упорядоченном по не убыванию виде: 2,5; 3,0; 4,0; 4,5; 4,5; 5,0; 5,5; 6,0; 6,0; 6,5; 6,5; 7,0; 7,5; 8,0; 8,5; 8,5; 8,5; 9,0; 9,0; 9,0; 9,0; 9,5; 10,0; 10,0; 10,5; 10,5; 11,0; 11,0; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 12,0; 12,0; 12,0; 12,0; 12,0; 12,0; 12,0; 12,5; 13,0; 13,0; 13,0; 13,0; 13,0; 13,0; 13,0; 13,5; 13,5; 14,0; 14,5; 14,5; 14,5; 14,5; 15,0; 15,0; 15,0; 15,0; 15,0; 15,5; 16,0; 16,0; 17,0; 17,0; 17,5; 17,5; 18,0; 19,0; 20,0 (
).
При уровне значимости α = 0,05 по 
критерию Пирсона необходимо проверить принадлежность наблюдений к экспоненциальному распределению. Инструменты подобранного распределения в последующем предполагается использовать в расчетах по оптимизации парка топливозаправщиков.
Выполнение задания.
Вначале выполним разбиение наблюдений на интервалы равной протяженности. Оценка протяженности единичного интервала 
и числа интервалов k по рекомендованным формулам (1.3) нецелесообразна по причине получения большого числа интервалов (k = 15) малой протяженности (
1,5 минуты), что увеличивает объем последующих вычислений. В этой связи, исходя из удобства расчетов, устанавливаем: = 3 минуты; k = 6.
В сгруппированном виде наблюдения представлены в таблице 2.19.
Таблица 2.19 – Группировка наблюдений по интервалам
| Номер интервалов i | Границы интервалов 
| Средины интервалов 
| Фактические частоты 
|
| [2…5] | 3,5 | ||
| (5…8] | 6,5 | ||
| (8…11] | 9,5 | ||
| (11…14] | 12,5 | ||
| (14…17] | 15,5 | ||
| (17…20] | 18,5 |
Примечание. В таблице 2.19 круглая скобка означает исключение, а квадратная - включение значений, совпадающих с границей.
По исходному ряду рассчитаем среднее 
и СКО 
наблюдений
мин.;
мин.
Определим значение параметра экспоненциального распределения 
по формуле
.
Далее вычисляем теоретические частоты попадания в каждый интервал 
. Для этого по вначале определяем вероятность попадания вплоть до правой границы интервала, а затем, - вероятность попадания до левой границы интервала. Разность этих вероятностей, умноженная на общее число наблюдений, и будет являться искомой теоретической частотой попадания в рассматриваемый интервал.
При экспоненциальном распределении вероятность 
определяется уравнением
. (2.52)
С учетом (2.52) рассчитаем теоретические частоты попадания в интервалы:
;
;
;
;
;
.
Рассчитаем фактическое значение критерия Пирсона по формуле
(2.53)
где: – фактическая частота попаданий значений в i -ый интервал;
k = 6 - число единичных интервалов;
- теоретическая частота попаданий значений в i -ый интервал.
Исходя из (2.53) получим
.
Рассчитаем число степеней свободы r = k – s = 6 – 1 = 5, где: k – число интервалов; s – число параметров описывающих рассматриваемое распределение. Экспоненциальное распределение описывает один параметр .
Для r = 6 и доверительной вероятности P = 0,95 по таблице 1.4 определяем табличное (критическое) значение критерия Пирсона 
.
Так как 
, то предположение об экспоненциальном законе распределения результатов наблюдений отклоняется.
Для наглядности на рисунке 2.9 показаны гистограмма фактических и график экспоненциального распределения частот попадания наблюдений времени в интервалы.
 |
Рисунок 2.9 – Фактическое и экспоненциальное распределение частот
Выводы: