Регрессионный анализ полиномиальной модели

 

8.1Метод наименьших квадратов

 

Метод наименьших квадратов(МНК) – основной метод статистической обработки результатов с целью получения математического описания объекта. Цель метода – получение регрессионной зависимости y=f(X₁), которая с достаточной точностью описывала бы результат эксперимента. График зависимости y=f(X₁) – это искомая кривая. Значениям фактора Х₁, равным Х₁₁, Х₁₂, …, Х_1N, соответствуют точки на кривой . Эти точки являются значениями выходной величины, рассчитанными по уравнению регрессии f=(X1).

(1.16)

 

Находим значение коэффициентов регресси a,b,c:

 

a = 0.0002 b = -0.1689 c = 46.0609

 

Уравнение модели в соответствии с найденными коэффициентами примет вид:

 

Y=-0,0002x²-0.1689 x+46.0609

На рисунке 3 представлен график зависимости у=f(x) полученной нами модели и точки зависимости Δ_М(T_t) по рассчитанным значениям Δ_М и средним значениям T_t для всех пяти заданных совокупностей данных.

 

 

Рисунок 5- Линейная зависимость Δ_М(T_t) от T_t\

 

9 Определение суммарной погрешности измерения температуры

 

При проведении многократных измерений случайная погрешность может быть уменьшена во много раз.

 

Однако погрешность усредненного результата будет определяться не этой весьма малой случайной погрешностью, а не зависящей от числа усредняющих отсчетов систематической погрешностью.

Согласно ГОСТ 8.207-76 погрешность результата измерения определяется по следующим правилам:

 

‑ если границы неисключенной систематической погрешности Δсист и оценка СКО результата измерения σ связаны соотношением:

 

 

то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность результата. При этом доверительные границы погрешности результата Δ = tβσ, где tβ — коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности β и числа проведенных измерений n;

 

‑ если же имеет место неравенство

 

то, наоборот, следует пренебречь случайной составляющей и результат характеризовать лишь границами его суммарной систематической погрешности Δ = Δсист.

При этом доверительные границы погрешности результата

Δ = ,

 

где t_β — коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности β и числа проведенных измерений n.

 

Таблица 7-Определение суммарной погрешности

 

№ выборки	Δсист	8σ
	8,39	6,7
	8,49	6,8
	8,65	7,0
	8,71	7,1
	8,8	7,4

 

Отсюда делаем вывод, что для данной последовательности измерений справедливо неравенство: .

Поэтому следует пренебречь случайной составляющей и результат характеризовать лишь границами его суммарной систематической погрешности Δ = Δ_Cист.

 

 

10 Расчет количества тепла, переносимого газом в единицу времени и погрешности такого измерения

 

Определить удельное теплосодержание и погрешность.

Удельное теплосодержание газа определяется по формуле:

,

где с – удельная теплоемкость газа,

G – массовый расход газа, кг/с;

t – температура газа в °С.

 

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи:

Y = f(x₁,x₂, …, x_n)

Погрешность косвенного измерения:

 

Абсолютная погрешность: ;

 

 

Относительная: .

 

СКО функции:

Таблица 8-Расчет количества тепла для пяти выборок

 

№ точки	Количество переносимого тепла Q, Дж/с	СКО функции	Погрешность ΔQ, %
		134,1919	35,2
		153,7963	37,7
		172,3534	28,2
		194,848	34,3
		221,6415	33,4

Анализируя полученную погрешность можно сделать вывод, что она достаточна высокая, на это могло повлиять большая погрешность расхода газа и условия эксплуатации прибора.

 

Заключение

 

Согласно ГОСТ 8.207 - 76 оформление результатов измерений при симметричной доверительной погрешности результаты измерений представляют в форме

 

где — результат измерения.

Кроме того, из результата измерения следует исключить методическую погрешность, поэтому получаем следующие результаты по измерениям.

Тогда результаты, полученные при проведении расчетов по пяти выборкам, будут иметь вид:

 

первая выборка: (411,94±25,26)0,95;

вторая выборка: (498,42±25,29)0,95ºС;

третья выборка: (575,51±25,31)0,95ºС;

четвертая выборка: (653,28±25,34)0,95 ºС;

пятая выборка: (720,38±25,34)0,95ºС;

 

В результате проведенного статистического анализа мы определили значимость систематической погрешности в данных измерениях, и выяснили, что для данных измерений не существенной будет величина случайной ошибки. То есть для данных измерений точность снимаемых показаний не будет зависеть от количества измерений, достаточно будет однократного измерения, но результат необходимо корректировать с учетом условий эксплуатации прибора и исключать методическую погрешность прибора.

Была построена модель зависимости Δ_М(T_t), адекватно описывающая методическую погрешность для данных измерений. Анализируя полученную модель можно сделать вывод, что погрешность измерений будет увеличиваться с увеличением измеряемой величины, т.е. данный прибор корректно использовать для измерения величин в низком диапазоне.

Список использованных источников

 

1 Гмурман В. Е. «Теория вероятности и математическая статистика». М. Высш. Шк., 1998 – 479с.

2 Карпенко С.Л., Рудковский А.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств» всех форм обучения. – Красноярск: СибГТУ, 2005.‑ 35 с.

3 Клюев А.С. проектирование систем автоматизации и контроля «ЛЕНАТОМиздат», 1990

4 ГОСТ 8.207‑76 «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».