Фундаментальная последовательность (последовательность Коши, сходящаяся в себе последовательность) – последовательность{ xn }, удовлетворяющая следующему условию Коши:
Для любого ε > 0 существует такое n, что для всех n > N, m > N выполняется неравенство |xn – xm| < ε.
Здесь xn – действительное или комплексное число или точка метрического пространства, | xn – xm | – расстояние между числами xn и xm или между точками xn и xm этого пространства.
Любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Пространство, в котором верно и числа обратное утверждение, называется полным. Множество действительных чисел и множество комплексных чисел – примеры полных пространств, а, скажем, множество рациональных чисел – нет: последовательность рациональных значений 
, взятых с недостатком (т.е. последовательность 1; 1,4; 1,41; …), сходится, но её предел не является рациональным числом.
Задание. Доказать сходимость последовательности 
, используя критерий Коши.
Доказательство. Покажем вначале, что заданная последовательность является фундаментальной, то есть для любого 
, 
: 
: 
:
Таким образом, для любого существует номер 
, а значит рассматриваемая последовательность является фундаментальной, а тогда по критерию Коши она является сходящейся.
Б1. 36. Полное метрическое пространство
Полное метрическое пространство – метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).
В большинство случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своем пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.
|
|
Пополнение.
Всякое метрическое пространство 
можно вложить в полное метрическое пространство 
таким образом, что метрика – продолжает метрику Х, а подпространство Х всюду плотно в . Такое пространство – называется пополнением Х и обычно обозначается 
.
Построение.
Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в Х можно ввести отношения эквивалентности
Можно классов эквивалентности – с метрикой, определенной
,
является метрическим пространством. Само пространство 
изометрически вкладывается в него следующим образом: точке 
соответствует класс постоянной последовательности 
. Получившееся пространство 
и будет пополнением .
Свойства:
· Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
· Полнота наследует замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
· Метрическое пространство 
компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено, то есть для любого 
пространство можно покрыть конечным числом шаром радиуса 
· Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства
Примеры:
· Множество вещественных чисел 
полно в стандартной метрике
· Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно
· Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
|
|
· Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространсво.