Тема: Статистические характеристики огибающей узкополосного случайного процесса.
Вспомним, откуда получился узкополосный (УПШ) случайный процесс (рис.6.1). В качестве формирующей цепи для примера выбрали контур с резонансной частотой 
(могли выбрать и полосовой фильтр, тогда его частотная характеристика была бы другая)
Рис.6.1. Получение узкополосного шума
Реализация узкополосного шума представляет собой колебание с частотой примерно равной резонансной и случайной амплитудой (рис.6.2). Этот узкополосный шум имеет нормальное распределение.
Рис.6.2. Характерная реализация и плотность вероятности узкополосного шума
Поскольку в реализации существует колебание с резонансной частотой и имеется некоторая огибающая, можно записать аналитическое выражение 
для узкополосного шума по аналогии с амплитудно-модулированным сигналом
(6.1)
В этой записи частота является величиной постоянной, а амплитуда 
и фаза 
являются случайными функциями.
Плотность вероятности узкополосного шума имеет вид (рис.6.2)
(6.2)
Функция корреляции узкополосного шума, полученного с помощью резонансной одноконтурной цепи
(6.3)
В выражении (6.3) 
зависит от частотной характеристики цепи, формирующей узкополосный шум.
При прохождении узкополосного шума 
через амплитудный детектор на его выходе будет огибающая 
, статистические характеристики которой нам требуется определить (рис.6.3). Следует заметить, что огибающая не будет корректно передаваться, т.к. имеется случайная начальная фаза.
Рис.6.3. Амплитудный детектор и сравнение реализаций и плотностей вероятности узкополосного шума и его огибающей
Плотность вероятности огибающей имеет закон распределения Релея
(6.4)
Построим дифференциальные законы распределения узкополосного шума и его огибающей на одном поле графика в одинаковом масштабе по осям (рис.6.4).
Рис.6.4. Плотности вероятности узкополосного шума и его огибающей
Можно рассчитать моментные функции для распределения Релея (без вывода).
(6.5)
Из выражения (6.5) видно, что статистические параметры огибающей зависят от дисперсии узкополосного шума. Поэтому при решении задач необходимо сначала найти эту дисперсию, если она не задана в условии задачи, а потом определять моментные функции.
Функция корреляции огибающей УПШ определяется как
(6.6)
Покажем функцию корреляции узкополосного шума (созданного резонансным контуром из белого шума) и на том же графике функцию корреляции его огибающей
Рис.6.5. Сравнение функций корреляции узкополосного процесса и его огибающей
Если узкополосный шум будет создан другим полосовым фильтром (см. таблицы), то будет другим и вид функции корреляции изменится.
Задача 1 (3.3)
Задан узкополосный случайный процесс 
с функцией корреляции
Определить моментные функции огибающей. Записать и построить статистические характеристики (
, 
, 
, 
) самогó процесса и его огибающей
Решение
По условию задачи 
. Найдем математическое ожидание и дисперсию огибающей (6.5)
Функция корреляции огибающей (10.6)
Построим графики функций корреляции узкополосного случайного процесса и его огибающей
Запишем выражения для плотности вероятности узкополосного шума и его огибающей
Построим графики для статистических характеристик
Дома самостоятельно построить 
и 
на одном поле графика в одинаковых масштабах по осям.
Задача 2 (3.4)
Найти математическое ожидание и дисперсию огибающей узкополосного нормального случайного процесса, спектр мощности которого показан на рисунке. Параметры спектра: 
.
Записать и построить статистические характеристики (
, 
, 
, 
) самого процесса и его огибающей
Решение
По условию задан узкополосный случайный процесс с центральной частотой 
. Чтобы найти статистические параметры огибающей, надо определить дисперсию узкополосного процесса, исходя из заданного спектра.
Найдем математическое ожидание и дисперсию огибающей (6.5)
Запишем статистические характеристики заданного узкополосного шума ( по таблицам)
Запишем функцию корреляции огибающей УПШ
Построим графики функций корреляции узкополосного случайного процесса и его огибающей
Запишем выражения для плотности вероятности узкополосного шума
Запишем выражения для плотности вероятности огибающей узкополосного шума
Дома самостоятельно построить и на одном поле графика в одинаковых масштабах по осям.
Задача 3(3.8)
Задан узкополосный случайный процесс 
с функцией корреляции
Определить вероятность превышения шумом порогового напряжения 4 Вольта.
Решение
Определить вероятность превышения шумом порогового напряжения можно из плотности вероятности огибающей.
Покажем на графике.
Найдем вероятность превышения шумом порогового напряжения, проинтегрировав плотность вероятности
А можно вероятность превышения найти по-другому
И затем проинтегрировать, должно получиться то же самое.
Дома можно решить задачи: №№ 3.1, 3.2, 3.6, 3.7, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13.