Тема: Статистические характеристики огибающей смеси гармонического сигнала и узкополосного случайного процесса.
На входе детектора огибающей имеется смесь гармонического сигнала с частотой 
и узкополосного случайного процесса с той же центральной частотой 
.
Представим структурную схему (рис.7.1) для получения огибающей смеси гармонического сигнала и узкополосного шума.
Рис.7.1. Структурная схема детектирования смеси сигнала и узкополосного шума
Смесь сигнала и шума обозначим 
.
Покажем на графике осциллограммы процессов в соответствующих точках схемы.
Рис.7.2. Осциллограммы в соответствующих выводах структурной схемы
и плотности вероятности УПШ и огибающей смеси УПШ с гармоническим сигналом.
На верхнем и нижнем графиках показаны законы распределения УПШ и огибающей смеси шума с сигналом.
Запишем выражения для плотностей вероятности показанных на рисунке. Входной узкополосный процесс имеет нормальное распределение. Его плотность вероятности (6.2), мы уже показывали на прошлом занятии
Закон распределения огибающей смеси гармонического сигнала с узкополосным шумом запишем в двух случаях:
1) когда сигнал отсутствует, т.е. 
, и
2) когда сигнал имеет достаточно большую амплитуду по сравнению с эффективным значением шума, т.е. 
.
Первый случай мы рассматривали на прошлом занятии, когда находили огибающую узкополосного шума (6.4) с распределением Релея
Во втором случае при достаточно большой амплитуде сигнала огибающая смеси сигнала с шумом имеет нормальное распределение (рис.7.2 нижний). Запишем выражение для плотности вероятности огибающей
(7.1)
Покажем на рисунке все три плотности вероятности на одном поле графика
Рис.7.3. Законы распределения узкополосного случайного процесса 
, огибающей узкополосного шума в отсутствии сигнала 
и огибающей смеси гармонического сигнала с узкополосным шумом 
Конечно в теории сложнее, но выражение (7.1) вполне можно использовать для решения задач на нахождение огибающей смеси.
Запишем статистические параметры огибающей суммы сигнала и шума
В задачах требуется найти функцию корреляции для огибающей 
.
Запишем для наглядности все три выражения:
1. для функции корреляции узкополосного шума (6.3)
2. для функции корреляции огибающей узкополосного шума (6.6)
3. для функции корреляции огибающей смеси узкополосного шума с гармоническим сигналом (
)
(7.2)
Здесь мы не стали раскрывать выражение 
, как это делали на прошлом занятии, привязавшись к конкретной узкополосной цепи, формирующей узкополосный шум. Если сравнить выражения (7.2) и (6.3), то сразу видно, что функция корреляции огибающей смеси гармонического сигнала с УПШ примерно равна огибающей функции корреляции самогó узкополосного шума.
Конкретные выражения и графики рассмотрим при решении конкретных задач.
Задача 1
Найти математическое ожидание и дисперсию огибающей суммы гармонического сигнала
и узкополосного нормального случайного процесса, спектр мощности которого показан на рисунке. Параметры спектра: 
.
Записать и построить статистические характеристики (
, 
, 
, 
) самогó процесса и огибающей суммы сигнала и шума.
Решение
Такую задачу мы делали на прошлом занятии (Задача 2) только без гармонического сигнала. Поэтому про узкополосный шум нам все известно, просто перепишем решение.
Потом добавим сигнал.
По условию задан узкополосный случайный процесс с центральной частотой 
. Чтобы найти статистические параметры огибающей, надо определить дисперсию узкополосного процесса, исходя из заданного спектра.
Запишем статистические характеристики заданного узкополосного шума (
по таблицам)
Запишем функцию корреляции огибающей суммы гармонического сигнала и УПШ
Построим функции корреляции узкополосного случайного процесса и его огибающей на одном поле графика
Сравните вид функции корреляции огибающей смеси при наличии сигнала с видом функции корреляции смеси при отсутствии сигнала (фактически огибающей УПШ), см. задача 2 из прошлого занятия.
Запишем выражения для плотности вероятности узкополосного шума
Запишем выражения для плотности вероятности огибающей суммы узкополосного шума и гармонического сигнала (7.1) и построим график
1/В
и построим график обе кривые на одном поле графика
Из рисунка видно, что при приближенном подсчете плотность вероятности огибающей смеси отличается от плотности вероятности УПШ только математическим ожиданием, равным примерно амплитуде гармонического сигнала.
Задача 2
На одноконтурный резонансный усилитель с резонансной частотой 
, полосой пропускания 
и коэффициентом передачи на резонансной частоте 
подается гармонический сигнал 
и белый шум с 
. Определить дисперсию, плотность вероятности и функцию корреляции огибающей суммарного сигнала на выходе усилителя.
Построить статистические характеристики (
, 
)
Решение
Покажем структурную схему устройства, заданного в условии задачи
Такая схема неудобна для стандартного решения задачи. Ее следует привести к виду рис.7.1. Резонансный усилитель это линейная цепь, поэтому пропустим через нее отдельно шум и отдельно гармонический сигнал, а на выходе усилителя их сложим. Вид структурной схемы при таком условии изменится
Осталось пропустить шум и сигнал через усилитель, получить смесь сигналов на входе детектора и выполнить решение задачи так, как показано в начале упражнения.
На выходе резонансного усилителя появится узкополосный шум, который имеет спектр мощности и функцию корреляции
В выражениях имеется параметр коэффициента затухания 
усилителя, который следует рассчитать
Можно найти дисперсию узкополосного шума (выражения для параметров берем из таблиц)
Эффективное значение 
В.
Сигнал на выходе резонансного усилителя
Амплитуда сигнала на выходе усилителя почти в 6 раз больше эффективного значения узкополосного шума. Следовательно, выражение для плотности вероятности огибающей суммы сигнала и шума
А функция корреляции
Дома самостоятельно построить 
и 
.
Дома можно решить задачи: №№ 3.23, 3.22, 3.21, 3.20.