Тема 5.1. Погрешности вычислений
Тема 5.2. Численное дифференцирование и интегрирование
Тема 5.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Контрольное задание состоит из семи заданий, в каждом задании по десять вариантов. Студент должен выполнить все семь заданий своего варианта. Вариант определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента. Решение задач должно сопровождаться краткими, но обоснованными пояснениями, используемые формулы требуется выписывать.
ОФОРМЛЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Работа должна быть аккуратно оформлена. Надо придерживаться следующих правил:
- контрольная работа выполняется в тетради в клетку, с отчерченными полями (3 - 4 см), все страницы должны быть пронумерованы в верхнем углу;
- на обложку контрольной работы выполненной в ученической тетради наклеивается бланк установленного образца (Приложение 1).
- последовательность заполнения тетради: условия задачи №1 (полностью) – ее решение, условие задачи № 2 – ее решение и т.д.;
- после решения последней задачи приводится список использованной литературы (в алфавитном порядке) с указанием издательства, года издания, личная подпись и дата выполнения работы;
- работа высылается на рецензию в соответствии с учебным графиком;
- после получения зачтенной работы студент должен внести исправления в соответствии с рецензией и показать их преподавателю во время экзаменационной сессии до экзамена.
Если работа не зачтена, то студент выполняет ее заново полностью.
Приложение 1
Оформление титульного листа рукописной контрольной работы
| Хабаровский институт инфокоммуникаций (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» Домашняя контрольная работа №___ ____________________________________________ (наименование дисциплины) Вариант_____________________________________ Выполнил ________________________________________________ (ФИО) _____________курс ___________________группа ___________шифр ______________ специальность Проверил ___________________________________ (ФИО преподавателя) Отметка_________________ __________________ (зачтено/незачтено) дата проверки | №_____________________ № регистрации ЗО Дата_________________ регистрации Подпись ____________ специалиста ЗО |
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание №1. Решить систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными
Методом Крамера. Значения коэффициентов представлены в таблице 1.
Таблица1:
| номер | a11 | a12 | a13 | a21 | a22 | a23 | a31 | a32 | а33 | в1 | в2 | в3 |
| -1 | -3 | -6 | ||||||||||
| -4 | -3 | -10 | ||||||||||
| -1 | -11 | |||||||||||
| -1 | -2 | -3 | -1 | |||||||||
| -3 | -3 | |||||||||||
| -4 | -4 | |||||||||||
| -2 | -2 | |||||||||||
| -2 | -1 | |||||||||||
| -4 | -5 | -2 |
Порядок выполнения:
Решить систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.
метод Крамера:
Пусть дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:
(1)
Система имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов аij отличен от нуля, т.е.
Решение системы (1) имеет вид: 
, где 
- дополнительный определитель, полученный из определителя D путем замены столбика коэффициентов при хi столбцом правой части (свободных коэффициентов).
Например,
Найти: х1, х2, х3 используя метод Крамера.
Решение:
Тогда, 
; 
; 
.
Ответ: х1=1; х2=5; х3=2
Задание №2.
А) Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме:
z1 + z2; z1 - z2; z1 * z2; z1 / z2
Б) Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах записи.
| Вариант | Задание 1 | Задание 2 |
| 1. | 
| a) 
б) 
|
| 2. | 
| a) 
б) 
|
| 3. | 
| a) 
б) 
|
| 4. | 
| a) 
б) 
|
| 5. | 
| a) 
б) 
|
| 6. | 
| а) 
б) 
|
| 7. | 
| а) 
б) 
|
| 8. | 
| a) 
б) 
|
| 9. | 
| a) 
б) 
|
| 10. | 
| a) 
б) 
|
Порядок выполнения:
Пример 1: 
; 
.
Найти: а) 
; 
; 
; 
; 
.
б) Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах записи.
Решение:
А) 
Б) 
В) 
Задание № 3. Найти пределы функции
| вариант | Задание | |
А)  ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
| |
 ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
| |
А)  ;
| Б) 
|
Порядок выполнения:
Замечание: 
,
тогда по формуле ах2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 – корни уравнения
Задание № 4. Найти производную функции
| №В | задание | №В | задание |
| 1. | 
| 6. | 
|
| 2. | 
| 7. | 
|
| 3. | 
| 8. | 
|
| 4. | 
| 9. | 
|
| 5. | 
| 10. | 
|
Порядок выполнения:
Пример. Найти производную функции
А) 
;
Б) 
;
В) 
;
Г) 
.
Решение:
А) 
.
Б) 
.
В) 
.
Г) 
.
Задание № 5. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график
| вариант | задание | вариант | задание |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Алгоритм исследования функции:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти точки пересечения с осями:
- с осью ОХ (у = 0);
- с осью ОУ (х = 0).
4. Исследовать функцию с помощью первой производной (промежутки монотонности функции, точки экстремума).
5. Исследовать функцию с помощью второй производной (промежутки выпуклости (вогнутости), точки перегиба).
6. Построить график функции.
Порядок выполнения:
Пример: Исследовать функцию с помощью первой и второй производной.
y = 2 - 3x + x3
Решение:
1) Область определения: x 
R
2) 
3) Исследуем функцию с помощью первой производной:
а) 
, приравниваем производную к нулю
тогда
- критические точки первого рода
б) Определим знак производной на интервалах
на этом интервале возрастает
на этом интервале убывает
на этом интервале возрастает
Т.к. при переходе через x1 = -1 производная меняет знак с «+ » на «- » 
x1 = -1 - точка максимума, а при переходе через x2 = 1 производная меняет знак с «- » на «+ » x2 = 1 – точка минимума.
Найдём значение функции в этих точках:
f max(-1) = 2-3(-1) + (-1)3 = 2 + 3 – 1 = 4
f min(1) = 2 - 3 
1+13 = 2 – 3 + 1 = 0
Тогда,
max(-1;4); min(1;0)
x Î 
- функция возрастает
x Î (-1;1) - функция убывает
4) Исследуем функцию с помощью второй производной (на выпуклость, вогнутость и точки перегиба):
найдём 
а) 
б) приравняем 
= 0 (вторую производную к нулю)
6x = 0
x = 0 - критическая точка второго рода
в) Определим знаки второй производной на интервалах
график выпуклый
график вогнутый
x = 0 – точка перегиба
Тогда:
На интервале х Î 
- график выпуклый
На интервале х Î 
- график вогнутый
- точка перегиба
5) Построим график данной функции: y = 2 - 3x + x3
Задание № 6. Вычислить интегралы
| Вари-ант | А | Б | В |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
|  
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
|
Порядок выполнения:
Пример: Вычислить неопределенный интеграл
.
2) 
.
3) 
Задание № 7. Найти вероятность случайного события
| Вари-ант | Задание 2. |
| В ящике 18 чёрных, 3 синих, 2 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынули чёрный или красный шар. | |
| В ящике 6 чёрных и 3 красных шара. Если первый раз вынули красный шар, то предоставляется право вынуть ещё раз шар. Какова вероятность того, что оба раза вынули красный шар? | |
| Есть 100 жетонов от 1 до 100. Какова вероятность того, что номер наудачу взятого жетона кратен 30 или 13? | |
| В ящике 10 чёрных, 7 синих, 13 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынули синий или красный шар. | |
| Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекается одна карта. Какова вероятность того, что вынута карта дама или карта пиковой масти? | |
| В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара, во втором ящике 2 белых, 6 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров оба сини. | |
| Есть 100 жетонов от 1 до 100. Какова вероятность того, что номер наудачу взятого жетона кратен 10 и 15? | |
| В ящике 15 черных, 8 синих, 10 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынули синий или красный шар. | |
| В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской и 12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наудачу пара обуви будет женской или детской. | |
| В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской и 12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наудачу пара обуви будет не женской. |
Порядок выполнения:
Пример 1. В урне находятся три одинаковых шара с номерами 1, 2, 3. Найти вероятность того, что извлеченный наугад шар будет с номером 1.
Решение.
Испытание: извлекаем наудачу один шар из трех.
Событие А: извлекаем шар с номером 1.
Р(А) - вероятность того, что извлечен шар под номером 1.
По формуле:
,
так как 
.
Ответ: 
Пример 2. В ящике находится 10 деталей: 8 стандартных и 2 нестандартных. Наудачу вынимаем деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется бракованной?
Решение:
Испытание: Наудачу выбирается одну деталь из десяти.
Соб. А: Выбранная деталь оказалась бракованной.
n = 10, m = 2
Подсчитаем число исходов (m), благоприятствующих событию А.
Р(А) - вероятность того, что вынутая деталь бракованная.
.
Ответ: Р(А) = 0,2