Построим доверительный интервал по выборке объема 20.

Статистическое оценивание параметров

Основные теоретические положения

Предметом статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Пусть случайная величина ξ имеет нормальноераспределение: ее плотность распределения вероятностей

 

 

Числа σ – стандартное отклонение, m - математическое ожидание, σ² - дисперсия. Выборкой объема n называется n независимых нормально распределенных случайных величин. Результаты наблюдений (реализация выборки) - совокупность из n чисел x₁,x₂,…,x_n.

Целью работы является оценка неизвестных параметров m и σ² по результатам наблюдений x₁,x₂,…,x_n. В качестве оценки математического ожидания рассмотрим выборочное среднее

 

Для дисперсии рассмотрим две оценки: выборочную дисперсию

 

 

и несмещенную дисперсию

 

Квадратные корни из выборочной и несмещенной дисперсий определяют выборочное и несмещенное стандартные отклонения

 

Рассмотрим интервальные оценки для математического ожидания. Доверительным интервалом называют

где величина Δ - предельная ошибка (статистическая погрешность). Для ее вычисления задают доверительную вероятность γ, например γ =0,95 находят из условия, что при неоднократных повторениях выборки, примерно 95% выборочных средних попадут в этот доверительный интервал.

Рассмотрим два случая вычисления величины Δ.

1. Точное значение дисперсии σ² неизвестно. Величина Δ вычисляется по формуле

 

Здесь t_γ обозначает квантиль распределения Стьюдента с (n -1) степенью свободы.

2. Точное значение дисперсии σ² известно. Величина Δ вычисляется по формуле

 

 

Здесь z_γ обозначает квантиль стандартного нормального распределения порядка (1+γ)/2:

В лабораторной работе необходимо выполнить четыре задания.

Задание 1 Моделирование выборки из нормального распределения.

Задание 2. Вычисление точечных оценок параметров нормального распределения.

Задание 3. Построение доверительных интервалов для математического ожидания 0,95.

Задание 4. Построение доверительных интервалов для математического ожидания 0,99.

. 3. Порядок выполнения работы.

Пример

Задание 1. Получить выборку объема 40 из нормального распределения с математическим ожиданием 4 и стандартным отклонением 0,5.

1. Выберите Сервис – Анализ данных. Откроется окно “Анализ данных”.

2. Выберите Генерация случайных чисел. Заполните его

 

Задание 2. По выборке вычислить оценки математического ожидания и дисперсии.

Для нахождения значений точечных оценок воспользуемся функциями, которые содержатся в категории Статистические.

Например, для вычисления оценки математического ожидания по выборке объема 20 нужно

1. Выделить ячейку D8,

2. Вставка функции, в категории Статистические выбрать СРЗНАЧ.

Аналогично вводятся формулы: в E8 =ДИСП(A6:A25)

в F8 =КОРЕНЬ(E8), в G8 =ДИСПР(A6:A25), в H8 =КОРЕНЬ(G8)

3. Аналогично вычислить оценки по выборке объема 40 в строке 9.

Задание 3. Построение доверительных интервалов для математического ожидания для доверительной вероятности 0,95.

Введите значение доверительной вероятности 0,95 в ячейку E11.

Построим доверительный интервал по выборке объема 20.

1. Функция СТЬЮДРАСПОБР вычисляет квантиль t_γ распределения Стьюдента с степенью свободы. Используя категорию Статистичекие, введите в ячейку D13 формулу

=СТЬЮДРАСПОБР(1-E11;C13-1).

2. Для вычисления предельной ошибки Δ введите в ячейку E13 формулу D13*F8/КОРЕНЬ(С13).

4. Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала вычислите в ячейках F13 и G13:

F13 =D8-E13 G13 =D8+E13