Двойные и криволинейные интегралы
Двойной интеграл и его свойства
Пусть функция определена в некоторой замкнутой области плоскости . Разобьем область произвольным образом на частей с площадями . Внутри каждой элементарной области выберем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке. Составим сумму:
Эта сумма называется -й интегральной суммой для функции по области .
Диаметром области назовем наибольшее из расстояний между точками границы этой области и обозначим .
Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частичных областей , не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается . Таким образом,
Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема по этой области.
Свойства двойного интеграла
1.
2. .
3. Если область интегрирования разбить на две области и без общих внутренних точек, то
.
Вычисление двойного интеграла
в прямоугольных декартовых координатах
В прямоугольной системе координат элемент площади можно записать в виде произведения . Тогда
= .
Область называется правильной в направлении оси (или ), если любая прямая, проходящая параллельно этой оси, пересекает границу области не более, чем в двух точках.
Например, область на рис. 1 является неправильной в направлении оси и правильной в направлении оси (прямая пересекает границу области в четырех точках).
D |
y |
x |
M |
N |
Рис. 1
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла следующим образом.
1) Пусть область является правильной в направлении оси и ограничена линиями: , причем , (рис. 2).
a |
b |
A |
B |
x |
y |
y |
Рис. 2
При выборе внешнего интегрирования по переменной x (из рис. 2 видно ) для определения внутренних пределов интегрирования по переменной y по области интегрирования проводим прямую, параллельную оси снизу вверх. Прямая сначала пресекает кривую , которую назовем линией входа. При выходе из области интегрирования прямая пересечет кривую , которую назовем линией выхода. То есть значение переменной в области меняется в пределах .
Тогда = .
Правая часть формулы называется повторным интегралом.
Таким образом, вычисление двойного интеграла свелось к вычислению повторного (двух определенных интегралов) интеграла вида
.
При вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в квадратных скобках) x считается постоянным.
2) Аналогичная формула вычисления двойного интеграла справедлива в случае, когда является правильной в направлении оси и ограничена линиями: , причем , (рис. 3).
x |
y |
C |
D |
c |
d |
x |
Рис. 3
Тогда = .
При вычислении «внутреннего интеграла» y считается постоянным.
Формулы перехода от двойного интеграла к повторному показывают, что в двойном интеграле можно изменять порядок интегрирования
.
Если область интегрирования является неправильной, то ее можно представить как объединение правильных областей. Тогда двойной интеграл равен сумме двойных интегралов по этим областям.
Пример 1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования двумя способами, если область ограничена линиями , , .
Решение. Построим область (рис. 4). Найдем точки пересечения линий , , решая систему уравнений,
, , ,
, .
Например, из первого уравнения системы находим: , . Таким образом парабола и прямая пересекаются в двух точках с координатами и , одна из которых принадлежит границе области (рис. 14).
A (2,0) |
O (0,0) |
y |
x |
B (1,1) |
Рис. 4
Внешнее интегрирование по переменной .
Область интегрирования расположена между прямыми , , а переменная изменяется в данной области при каждом фиксированном значении от точек параболы до точек прямой (рис. 11.4). Следовательно,
.
Внешнее интегрирование по переменной .
Так как верхний участок границы OBA области задан двумя линиями OB и BA, то прямая разбивает область на области , и , . В результате получаем сумму двух повторных интегралов:
.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена линиями , , .
Решение. Построим область (рис. 5).
Найдем точки пересечения линий из системы уравнений , , ,
, .
Таким образом, – точка пересечения линий в рассматри-ваемой области.
Область интегрирования расположена между прямыми , , снизу ограничена прямой , сверху – параболой (рис. 5).
>
-1 |
x |
y |
A |
Рис. 5
Следовательно,
.
Если проводить внешнее интегрирование по переменной , то область необходимо разбивать на две области прямой и считать не один, а сумму двух повторных интегралов.