Высказывания и высказывательная форма

1) Математическое предложение, виды предложений.

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи математических предложений – предложений, которые содержат математические объекты. Они бывают 2-х видов: высказывание и высказывательная форма.

2) Определение высказывания и высказывательной формы.

Высказывание – предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С,…, Z. Например, А: «3 + 7 = 10».

Высказывательная форма – предложение, содержащее одну или несколько переменных, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменных. Высказывательные формы обозначают А(х), А(х, у) и т.д. Например, А(х): «5х + 7 = 17» или А(х, у): «х > у».

3) Значение истинности высказывания.

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно и тем и другим оно не может.

Если высказывание истинно, то записывают «и», если же высказывание ложно, то пишут «л». Например, А: «число 12 – четное», высказывание истинно, значит записываем: А – «и». А: «2 + 5 > 8», высказывание ложно, значит пишем: А – «л».

4) Область определения высказывательной формы.

Область определения высказывательной формы (Х) – множество значений, при которых высказывательная форма обращается в высказывание. Например, неравенство х > 5 можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной х выбирается из множества действительных чисел. Тогда в первом случае областью определения неравенства х > 5 будет множество натуральных чисел, а во втором множество действительных чисел.

5) Множество истинности высказывательной формы.

Множество истинности высказывательной формы (Т) – множество значений, при которых высказывательная форма обращается в истинное высказывание. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5; +∞). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3. Всегда Т С Х.

6) Элементарные высказывания.

Высказывания бывают элементарными (простыми) и составными (сложными). Приведу пример элементарного высказывания: А: «число 28 делится на 7», А – «и».

7) Логические связки.

Составные высказывания образуются из элементарных при помощи логических связок: «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда …» и «не». Например, А: «число 28 четное и делится на 7». Это предложение образовано из 2-х элементарных: «число 28 четное», «число 28 делится на 7» с помощью логический связки «и».

8) Составные связки.

«Если углы вертикальные, то они равны». Это предложение состоит из двух элементарных предложений: предложения А: «углы вертикальные» и предложения В: «углы равны». Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если…, то…». Говорят, что данное составное предложение имеет логическую структуру: «если А, то В».

9) Операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание.

Конъюнкция высказываний А и В – высказывание А^ В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Высказывания образуются при помощи союза «и». Например, «число 28 делится на 7 и на 9» является конъюнкцией. Согласно определению высказывание будет ложным.

Дизъюнкция высказываний А и В – высказывание А v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Высказывания образуются при помощи союза «или». Например, «число 28 делится на 7 или на 9» является дизъюнкцией. Согласно определению высказывание будет истинным.

Отрицание высказывания А – высказывание А, которое ложно, если высказывание А истинно, и истинно, если высказывание А – ложно. Высказывания образуются при помощи частицы «не», поставленной перед сказуемым, и слов «неверно, что» – перед всем высказыванием. Например, построим отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9»: «число 28 не делится на 9» и «неверно, что число 28 делится на 9». Высказывания истинные, значит отрицание построено правильно.

Переформулируйте задание, используя язык математической логики: «Какие числа можно записать вместо «а», чтобы получилось верное равенство?»

Найти множество истинности высказывательной формы: