Тела вращения (6 баллов)

_{МАТЕРИАЛ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ}

СФЕРА И ШАР

1. В шаре на расстоянии 4 см от центра проведено сечение, площадь которого равна 9π см². Найдите объем шара.

2. Площадь сферы равна 5π см². Длина линии пересечения сферы и секущей плоскости равна

π см. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости.

3. Площадь сечения шара равна 80π см². Секущей плоскости удалена от центра шара на 8 см. Найдите радиус шара.

4. Линия пересечения сферы и плоскости имеет длину 12π см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости, если радиус сферы равен 8π см.

5. Площадь сечения шара плоскостью в 8 раз меньше площади поверхности шара. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра шара, если радиус шара равен 5√2 см.

6. Вычислить площадь поверхности шара, объем которого равен дм³.

7. Найдите объем шара, площадь поверхности которого равна 36π дм².

ЦИЛИНДР

8. Высота цилиндра равна 6см, а радиус его основания – 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, если она удалена от оси цилиндра на расстоянии 4 см.

9. Радиус основания цилиндра равен 13 см. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, равна 80 см². Расстояние от плоскости сечения до оси равно 12 см. Найдите высоту цилиндра.

10. Прямоугольник со сторонами 2 и см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем полученной фигуры вращения.

11. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота – 24 см. На каком расстоянии от оси цилиндра следует провести сечение, параллельное оси цилиндра, чтобы оно имело форму квадрата?

12. В цилиндре параллельно его оси на расстоянии 6 см от нее проведено сечение, имеющее форму квадрата площадью 64 см². Найдите радиус основания цилиндра.

13. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см и образует с основанием угол, синус которого равен . Найдите объем цилиндр.

КОНУС

14. Найдите объем конуса, если его осевое сечение равносторонним треугольником со стороной 4 см.

15. Высота и образующая конуса соответственно равны 4 и 5 см. Найдите объем конуса.

16. Найдите объем конуса, образующая которого равна 2√3 м и наклонена к основанию под углом 30⁰.

17. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна 3√2 см и составляет с образующей угол 45⁰.

18. Образующая конуса равна периметру прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 см и наклонена к основанию конуса под углом 30⁰. Вычислите объем конуса.

19. Угол между образующей конуса и высотой равен . Расстояние от середины образующей до центра основания равно 12 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

20. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол. Расстояние от центра основания до образующей равно 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

21. Длины двух сторон осевого сечения конуса равны 6 и 12 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, которая проходит через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60 ⁰.

22. Один из углов осевого сечения конуса равен 90 ⁰. Хорда основания конуса, которая равна

8√3 см, стягивает дугу в 120 ⁰. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, которая проходит через вершину конуса и данную хорду основания.

Тела вращения (10 баллов)***

1. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, центр корой делит высоту пирамид и в отношении 5:3, считая от вершины. Найдите площадь сферы, если сторона основания пирамиды равна 18 см.

2. На поверхности шара даны три точки А, В и С, так что АВ=7, ВС= 24, АС=25. Центр шара находится на расстоянии от плоскости АВС. Найдите объем шара.

3. Через образующую цилиндра проведены две такие взаимно перпендикулярные плоскости, что площади полученных сечений равны 3√2 см² каждая. Найдите S осевого сеч. цилиндра.

4. Диаметр основания конуса 6 см, площадь осевого сечения 12 см². Найдите объем цилиндра, имеющего тот же диаметр основания и одинаковую с конусом величину Sбок.

5. Цилиндр и конус имеют общее основание радиусом 6√3 см. Угол при вершине осевого сечения конуса равен в 120 ⁰. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если известно, что он имеет равный с конусом объем.

6. Металлический шар радиуса R переплавлен в конус, боковая поверхность которого в два раза больше площади его основания. Найдите высоту конуса.

7. Квадрат боковой поверхности медного конуса вдвое больше квадрата площади основания конуса. Высота конуса равна H. Конус переплавлен в шар. Найдите радикс шара.

8. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник с углом α при вершине и радиусом описанной вокруг него окружности R. Найдите объем конуса.

10. Около конуса описана правильная треугольная пирамида, длина каждого ребра которой равно a. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса и объем конуса.

11. Около конуса описана правильная четырехугольная пирамида, длина каждого ребра которой равно a. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания объем конуса.

12. Развертка боковой поверхности конуса – сектор с центральным углом 90 ⁰. Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 1 см.

13. Высота конуса равна h, расстояние от центра основания конуса до его образующей равно m. Вычислите через h и m объем конуса (площадь боковой поверхности конуса.

14. Треугольник со сторонами 13,14,15 вращается вокруг средней стороны. Найдите объем тела вращения.

15. Радиус основания конуса равен 1 дм, а угол развертки боковой поверхности равен 90⁰. Вычислить полную поверхность конуса.

16. Образующая конуса равна 6 см, а угол развертки боковой поверхности равен 60⁰. Вычислить объем конуса.

17. Найдите объем конуса, боковая поверхность которого представляет собой круговой сектор с углом 120 ⁰ и радиусом, равным 12 см.

18. Найдите величину угла кругового сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса с образующей, равной 8 см, если боковая поверхность конуса в 4 раза больше площади его основания.

19. Развертка боковой поверхности конуса – полукруг. Площадь осевого сечения конуса равна 9√3 см². Найдите объем конуса.

20. Развертка боковой поверхности конуса – сектор с центральным углом 120⁰. Найдите объем конуса, если периметр его осевого сечения равен 16 см.