Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.

Решим уравнение:

4^х - 3·2^х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение:

2^2х - 3·2^х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2^х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

2^х = t

t>0

Ввели ограничение на значение переменной (действительно, число 2 в любой степени будет числом положительным. Решив уравнение относительно переменной t, отбросим корни, которые не будут соответствовать этому условию)

Тогда 2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t²

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

t² - 3t+2 = 0

Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:

t₁ = 2

t₂ = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁:

t₁ = 2 = 2^х

Стало быть,

2^х = 2

х₁ = 1

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:

t₂ = 1 = 2^х

2^х = 1

Гм... Слева 2^х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

1 = 2⁰

2^х = 2⁰

х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

х₁ = 1

х₂ = 0

Это ответ.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел хорошо знать.

Итак, решение самых простых показательных уравнений усвоили. А теперь разберем решение еще некоторых типов уравнений – посложнее.

Решим уравнение 2^x+3 = 0,4·5^x+3. Итак, в уравнении имеем две степени - одна с основанием 2, у другой степени основание 5. Это плохо? Нет, потому что у степеней одинаковые показатели степени. Сейчас уменьшим число оснований, путем деления обеих частей уравнения на одно и то же число (математика разрешает это сделать, а именно умножить или разделить обе части уравнения на число или выражение, которое не равно нулю). Мы разделим обе части уравнения на 5^x+3≠0 (ведь точно, 5^x+3 ни при каком значении икс не будет равно нулю!). А кроме этого, заметим, что если записать число 0,4 обыкновенной дробью, то после сокращения дроби появятся числа 2 и 5 (0,4 = {4 \over 10} = {2 \over 5}0,4=104​=52​). Записываем получившееся уравнение:

{2^{x+3} \over 5^{x+3}} = {2 \over 5}{\cdot}{5^{x+3} \over 5^{x+3}}5 x +32 x +3​=52​⋅5 x +35 x +3​

Запишем левую часть уравнения как дробь в степени и сократим дробь в правой части уравнения. После всех преобразований имеем вот такое простое уравнение:

{({2 \over 5})^{x+3}} = {2 \over 5}(52​) x +3=52​

Теперь имеем право приравнять показатели степени. И получаем самое простое уравнение

x + 3 = 1

x = -2. Ответ: -2

Затем решим вот такое уравнение: {3^x \cdot 0,3^x = \sqrt{0,81}}3 x ⋅0,3 x =0,81​. Для начала уравнение проанализируем. Имеем дело с показательным уравнением, так как икс находится в показателе степени (вверху), в левой части уравнения два различных основания 3 и 0,3. Однако показатели степени одинаковые, следовательно, можем применить свойство степеней

(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ

Тогда левая часть уравнения примет вид (3·0,3)^x = 0,9^x. Теперь преобразуем правую часть уравнения, помня, что и в правой части уравнения необходимо получить основание 0,9 в какой-то степени. Сначала займемся подкоренным выражением: 0,81 = 0,9². Далее корень запишем в виде степени с дробным показателем степени, применив следующее свойство {\sqrt[n]{a^m} = a^{m \over n}} nam ​= anm ​, значит {\sqrt[3]{0,81} = 0,9^{2 \over 3}}30,81​=0,932​. Итак, после преобразований имеем уравнение нужного нам вида:

{0,9^x = 0,9^{2 \over 3}}0,9 x =0,932​

Левая часть уравнения равна правой части, основания степеней равны, следовательно, равны и показатели степени

x = {2 \over 3} x =32​. Ответ: {2 \over 3}32​.

Еще уравнение. 2^4х+2·5^-3х-1=6,25·2^х+1. В этом уравнении два различных основания 2 и 5. Уменьшим число оснований путем деления на одно из оснований. Разделим обе части уравнения на 2^x+1≠0. Тогда запишем:

{{2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1}} \over 2^{x+1}}={{6,25 \cdot 2^{x+1}} \over 2^{x+1}}2 x +124 x +2⋅5−3 x −1​=2 x +16,25⋅2 x +1​

В левой части уравнения поделим степени с основанием 2 (напоминаю, что при делении степени на степень с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, {a^n \over a^m}=a^{n-m} aman ​= an − m), а в правой части уравнения сократим дробь. После этих преобразований уравнение вот так будет выглядеть

2^3x+1·5^-3x-1=6,25

Правую часть уравнения представим в виде обыкновенной дроби

{2^{3x+1} \cdot 5^{-(3x+1)} = {625 \over 100}}23 x +1⋅5−(3 x +1)=100625​

В левой части уравнения к степени с основанием 5 применим определение отрицательной степени числа {a^{-n}={1 \over a^n}} a − n = an 1​, в правой же части уравнения сократим дробь

{2^{3x+1} \over 5^{3x+1}}={25 \over 4}53 x +123 x +1​=425​.

И теперь можно заметить, что степени в обеих частях уравнения приводятся к одному основанию. В правой части уравнения вот, что проделаем: {25 \over 4} = ({5 \over 2})^2 = ({2 \over 5})^{-2}425​=(25​)2=(52​)−2.

Получаем уравнение нужного нам вида (слева и справа одинаковые основания в каких-то степенях):

({2 \over 5})^{3x+1} = ({2 \over 5})^{-2}(52​)3 x +1=(52​)−2.

И финал решения – приравниваем показатели степени

3x+1=-2

3x=-3

x=-1. Ответ: -1.

Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.