При математической обработке результатов измерений рассчитать доверительный интервал
Цель работы: произвести математическую обработку результатов рассчитав доверительный интервал
Задание: произвести математическую обработку результатов: среднее арифметическое, стандартное отклонение, стандартное отклонение среднего арифметического, доверительный интервал. Ответить на контрольные вопросы.
Задача 1. При проведении анализа было получено 5 параллельных результатов: 90; 91; 92; 91; 90(%). Провести математическую обработку результатов анализа.
Задача 2. При проведении анализа было получено 6 параллельных результатов: 98,10; 98,15; 98,22; 98,08; 98,10; 98,24(%). Провести математическую обработку результатов анализа.
Задача 3. Sx = 0.08, n = 9. Оценить границы доверительных интервалов.
Задача 4. Sx = 0.07, n = 7. Оценить границы доверительных интервалов.
Задача 5. При замере химических результатов получили путем замеров на микрозонде 8 значений Х: 0.70,0.71, 0.68, 0.69, 0.72, 0.71, 0.67, 0.69. Необходимо определить среднее арифметическое и среднеквадратическую ошибку (S x) и доверительные интервалы для Sx.(табл)
Задача 6. При определении состава синтезированного в опыте бензола получили путем замеров на микрозонде 9 значений Х: 0.40,0.41, 0.38, 0.39, 0.42, 0.41, 0.37, 0.39, 0.40. Необходимо определить среднее арифметическое и среднеквадратическую ошибку (S x) и доверительные интервалы для Sx. (табл)
Методические рекомендации
Последовательность вычислений следующая:
1. Исключить известные систематические ошибки (введением поправок).
2. Исключить " анормальные " результаты (промахи).
3. Вычислить среднеарифметическое исправленных результатов (эта величина и будет считаться наиболее достоверным результатом измерений).
4. Вычислить среднеквадратическую ошибку результатов измерений.
5. Оценить доверительные интервалы (погрешности) результатов измерений.
Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Среднее арифметическое выборки - выборочное среднее - лучшая оценка генерального среднего. Поэтому при измерении какой-либо величины за результат принимается среднеарифметическое результатов отдельных замеров (после исключения систематических ошибок). Среднее из определений (замеров) обозначается как 
n:
. 
Среднеквадратическое отклонение результатов измерения Sx - наиболее обоснованная и распространенная мера случайных погрешностей. В случае, когда имеется nединичных измерений величины Х, среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле:
или
,
где n - объем выборки (число замеров), Sx - среднеквадратическое отклонение, Х1, Х2,.....Хn- результаты замеров, n - выборочное среднее. Последняя формула более удобна при расчетах на калькуляторах. При вычислениях по этим двум формулам возведение в квадрат должно выполняться без округления результатов (причем точность резко уменьшается при малых n). Величина Sx называется среднеквадратичной погрешностью результатов отдельного измерения. Она имеет ту же размерность, что и переменная Х. Относительная точность расчета Sx от 50 до 100 относительных %, поэтому для Sx записываются 1 - 2 значащие цифры.
Величина среднеквадратического отклонения выборки S при больших n (~ 100) может быть довольно близка к среднеквадратическому отклонению генеральной совокупности 
.При малых n значения S могут сильно отличаться от "истинного значения" . Поэтому желательно оценивать доверительные интервалы по следующей схеме
Рассчитывают среднеквадратическое отклонение Sxпо приведенным формулам.
Задают необходимую доверительную вероятность 
. Обычно = 0.95.
Доверительная вероятность измерений должна задаваться самим экспериментатором. Эта величина, определяющая надежность результатов. Чем более ответственны результаты, тем более высокую доверительную вероятность надо принимать. Для технических и аналитических определений (например состав фаз, параметров элементарной ячейки и других очень точных измерений) обычно принимается доверительная вероятность 0.95. Для важных измерений (на которых базируется новый закон, новое положение или от которых зависит безопасность людей) = 0.99.
3. По таблице 1 для принятой и n находят доверительные границы отклонения величины Sx (в долях Sx) 
1 и 2.
Таблица 1. Коэффициенты 1 и 2 для оценки доверительных интервалов ошибок расчета среднеквадратического отклонения.
| = 0.95
| = 0.90
| |||
| n | 1
| 2
| 1
| 2
|
| 0.42 0.52 0.57 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.69 0.71 0.73 0.74 0.75 0.76 0.78 0.80 0.84 0.88 0.91 | 6.3 3.7 2.9 2.5 2.2 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.5 1.5 1.4 1.3 1.2 1.2 1.1 | 0.51 0.58 0.62 0.65 0.67 0.69 0.70 0.72 0.73 0.75 0.76 0.77 0.79 0.79 0.81 0.83 0.86 0.90 0.93 | 4.4 2.9 2.4 2.1 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.5 1.4 1.4 1.4 1.3 1.3 1.2 1.1 1.1 |
4. Находят доверительные границы отклонения Sx:
Sмин = SX 1, Sмакс= SX 2,
Полученные значения Sмин и Sмакс означают, что с вероятностью величина Sx лежит между ними. С учетом доверительных интервалов Sx далее рассчитываются доверительные интервалы погрешности измерения.
Контрольные вопросы
1. Что называется систематической погрешностью?
2. Что называется случайной погрешностью?
3. Что называется грубой погрешностью?
4. Что называется доверительной вероятностью?
5. Приведите расчетную формулу при большом числе измерений полуширины доверительного интервала при заданном значении.