В виде последовательного соединения двух фильтров

Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала

.

Воспользовавшись (2.6) и теоремой о дискретной свертке (раздел 2.1), выразим Z-преобразование Y(z) выходного сигнала фильтра y_n через Z-преобразование X(z) входного сигнала x_n

Y(z) = H(z) X(z),

где .

Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.

Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.

Рассмотрим формы программной реализации фильтра:

1. Прямая форма

На рисунке 2.5 представлен алгоритм функционирования цифрового фильтра при прямой форме реализации. Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n-1,..x_n-N и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени y_n-1, y_n-2,.. y_n-N. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B₀, B₁,.. B_N, A₁, A₂,.. A_N определяют свойства фильтра.

Рисунок 2.5 – Прямая форма программной реализации фильтра

 

Согласно схеме рисунка 2.5 запишем разностное уравнение

Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала

Из последнего соотношения получим

. (2.7)

Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.

2. Каноническая форма.

Представим выражение (2.7) в виде произведения двух функций

 

,

(2.8)

Согласно (2.8) цифровой фильтр с системной функцией H(z) можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров с системными функциями H_A(z) и H_B(z) (рисунок 2.6).

 

Рисунок 2.6 – Представление фильтра с прямой формой реализации

в виде последовательного соединения двух фильтров

Действительно,

.

Заменив укрупненный алгоритм рисунка 2.6 детальным, получим схему фильтра, изображенную на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 – Детальный алгоритм представления фильтра с прямой реализацией

в виде последовательного соединения двух фильтров

 

Из рисунка видно, что для хранения одних и тех же переменных используются две линии задержки, поэтому одну из них можно удалить. При этом схема фильтра преобразуется к виду, представленному на рисунке 2.8. Это и есть каноническая форма программной реализации фильтра.

Рисунок 2.8 – Каноническая форма программной реализации фильтра

Достоинством канонической формы является в два раза меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

На рисунке 2.8 показана каноническая форма фильтра N-го порядка на одной линии задержки, состоящей из N элементов. Однако обычно вместо структуры, изображенной на рисунке 2.8, используется параллельное или последовательное соединение звеньев второго порядка. Такое представление фильтра связано с возможностью представления системной функции (2.7) в виде произведения или суммы системных функций с полиномами второго порядка в числителе и знаменателе

, (2.9)

 

, (2.10)

 

где L – порядковый номер звена, L_max – максимальное значение номера звена

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B₂ и A₂ равны нулю.

Соотношению (2.9) соответствует схема рисунка 2.9а, а соотношению (2.10) – схема рисунка 2.9б.

Рисунок 2.9- Последовательное (а) и параллельное (б) соединение

звеньев фильтра

Типовая схема звена второго порядка приведена на рисунке 2.10. На входе звена показан масштабный коэффициент M_L (как правило, меньше единицы), предотвращающий появление в процессе вычислений значений сигналов фильтра, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства.

Рисунок 2.10 – Типовое звено второго порядка

 

2.5. Частотная характеристика цифрового фильтра

 

Комплексным коэффициентом передачи фильтра является отношение комплексной амплитуды выходного сигнала фильтра к комплексной амплитуде входного синусоидального сигнала

.

Коэффициентом передачи фильтра К называется модуль комплексного коэффициента передачи

Частотной характеристикой цифрового фильтра называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации (рисунок 2.5) комплексный сигнал с единичной амплитудой

.

Согласно определению комплексного коэффициента передачи комплексный выходной сигнал должен быть равен

.

Из схемы рисунка 2.5 следует, что выходной комплексный сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Из последнего соотношения получим

(2.11)

Сравнивая последнее соотношение с выражением для системной функции цифрового фильтра (2.7), можно сформулировать правило определения комплексного коэффициента передачи при известной системной функции фильтра: для нахождения комплексного коэффициента передачи нужно в выражении для системной функции заменить z на :

 

, (2.12)

где - нормированная частота – отношение текущей частоты f к частоте дискретизации F_Д.

 

Лекция №6. Определение АЧХ и ФЧХ цифровых фильтров

Тема 2. Цифровые фильтры

 

2.6. Цифровой резонатор

 

Цифровой резонатор (рисунок 2.11) представляет собой звено второго порядка, у которого коэффициенты системной функции B₁ и B₂ равны нулю, а коэффициент B₀=1.

 

Рисунок 2.11 – Цифровой резонатор

 

Масштабный коэффициент на входе фильтра M предотвращает появление значений сигналов резонатора, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства, на котором он реализован.

Системная функция резонатора описывается следующим соотношением

. (2.13)

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

,

.

В цифровом резонаторе полюсы системной функции должны быть комплексно-сопряжёнными. В противном случае (2.13) представляет собой системную функцию фильтра нижних частот.

Следовательно, должно выполняться условие

.

При этом условии полюсы системной функции определяются следующим соотношением

, (2.14)

где .

На рисунке 3.11 показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

.

 

 

 

Рисунок 2.12 – Полюсы системной функции z₁ и z₂

 

При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до F_Д / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.

Подставляя в последнее соотношение θ₀ из (2.14), получим

. (2.15)

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота зависит от частоты дискретизации F_Д и коэффициентов системной функции A₁ и A₂. При A₁=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A₁<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A₁> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при A₁=0.

Подставляя в (2.13) , получим

.

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

, (2.16)

. (2.17)

Из (2.16) видно, что на резонансной частота при резонансный коэффициент передачи равен

. (2.18)

На рисунке 2.13 приведена АЧХ, рассчитанная по (2.16), а на рисунке 2.14 – ФЧХ, рассчитанная по (2.17) при A₂=0.9, M=1-A₂. АЧХ и ФЧХ при A₂=0.99 приведены на рисунках 2.15 и 2.16 соответственно.

Рисунок 2.13 -АЧХ резонатора при =0.9, =0, M=1-

 

Рисунок 2.14 -ФЧХ резонатора при =0.9, =0

 

Рисунок 2.15 -АЧХ резонатора при =0.99, =0, M=1-

 

Рисунок 2.16 -ФЧХ резонатора при =0.99, =0

 

Из приведенных графиков видно, что АЧХ цифрового резонатора по форме похожа на резонансную кривую аналогового колебательного контура, а ФЧХ резонатора отличается от ФЧХ аналогового контура тем, что стремится к нулю при больших расстройках относительно резонансной частоты. Вблизи резонансной частоты ФЧХ цифрового резонатора подобна ФЧХ аналогового колебательного контура.

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А₂ показывает, что при стремлении А₂ к единице полоса пропускания резонатора уменьшается (резонанс становится более острым) и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

Для выяснения влияния коэффициента А₁ на свойства резонатора рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А₁<0 и при A₁>0. Соответствующие графики приведены на рисунках 2.17.. 2.20.

Рисунок 2.17 - АЧХ резонатора при =0.9, = -0.9, M=1-

 

Рисунок 2.18 -ФЧХ резонатора при =0.9, = -0.9

 

Рисунок 2.19 - AЧХ резонатора при =0.9, = 0.9, M=1-

 

 

Рисунок 2.20 - ФЧХ резонатора при =0.9, =0.9

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А₁ сильно влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

 

2.7. Однородный фильтр

 

Однородным называется нерекурсивный фильтр, у которого все коэффициенты системной функции одинаковы. Этот фильтр называют также фильтром скользящего среднего. Схема фильтра приведена на рисунке 2.21.

Рисунок 2.21 – Однородный фильтр

 

Из рисунка видно, что выходной сигнал фильтра определяется следующими соотношениями

Определим Z-преобразования последовательностей v_n и y_n

Определим системную функцию фильтра

.

Используя подстановку , определим комплексный коэффициент передачи

 

(2.19)

Обозначим

. (2.20)