Проблема обоснования математического знания на различных стадиях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII веке. Поиски единой основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие парадоксов теории множеств и их философское описание.
Математическая логика как инструмент обоснования математики и как основания математики. Логицистская установка Г.Фреге, его взгляды на природу математического мышления. Программа логической унификации математики. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б.Рассел и А.Уайтхед). Результаты К.Геделя и А.Тарского. Методологические изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.
Идеи Л.Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Праинтуиция как исходная база математического мышления. Проблема существования. Учение Л.Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская критика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для современной математики и методологии математики.
Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических теорий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие финитизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивсти арифметики. (Г.Генцен, П.Новиков, Н.Нагорный). Теоремы К.Геделя и программа Гильберта: современные дискуссии.
Философско-методологические и исторические проблемы математизации науки
Прикладная математика. Особенности приложений математики. Математики как языка науки. Уровни математизации знания: количественная обработка экспериментальных данных, построение математических моделей индивидуальных явлений и процессов, создание математизированных теорий.
Специфика приложения математики в различных областях знания. Новые возможности применения математики, предлагаемые теорией катастроф, теорией фракталов, и др. Проблема поиска адекватного математического аппарата для создания новых приложений.
Математическая гипотеза как метод развития физического знания. Математическое предвосхищение. «Непостижимая эффективность» математики в физике: проблема рационального объяснения. Этапы математизации в физике. Неклассическая фаза (теория относительности, квантовая механика. Проблема единственности физической теории, связанная с богатыми возможностями выбора подходящих математических конструкций). Постклассическая фаза (аксиоматические и конструктивные теории поля и др). Перспективы математизации нефизических областей естествознания. Границы, трудности и перспективы математизации гуманитарного знания. Вычислительное, концептуальное и метафорическое применения математики. Границы применимости вероятностно-статистических методов в научном познании.
Математическое моделирование: предпосылки, этапы построения модели, выбор критериев адекватности, проблема интерпретации. Сравнительный анализ математического моделирования в различных областях знания. Математическое моделирование в экологии: историко-методологический анализ. Применение математики в финансовой сфере: история, результаты и перспективы. Математические методы и модели и их применение в процессе принятия решений при управлении сложными социально-экономическими системами: возможности, перспективы и ограничения. ЭВМ и математическое моделирование. Математический эксперимент.
Литература
1. Антология философии математики/Отв. ред. и сост. А.Г. Барабашев и М.И. Панов. – М., 2002.
2. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. – М., 1981.
3. Бесконечность в математике: философские и методологические аспекты./ Под ред. А.Г. Барабашева. – М., 1997.
4. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Н.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. – Киев, 1976.
5. Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / Отв. ред. М.И. Панов. – М., 1987.
6. Клайн М. Математика. Утрата определенности (перев. с англ.). – М., 1984.
7. Пуанкаре А. О науке. – М., 1990.
8. Стили в математике. Социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. – СПб, 1999.
9. Перминов В.Я. Философия и основания математики. – М., 2002.
10.Математика и опыт. Под ред. А.Г. Барабашева – М., 2002.
11. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. – М., 1969.
12. Абрамян А.О. Математизация знаний. – Ростов н/Д: Изд-во Ростовского университета, 1972.
13. Фрейман Л.С. Творцы высшей математики. – М., 1968.
14. Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики. – М., 1976.
15. Петров Ю.П. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика. – СПб, 2005.
16. Поликарпов В.С. Философия науки. –Ростов н/д-Таганрог, 2004. Раздел 1. «Философские проблемы математики».