КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
По дисциплине
“Философия математики”
для направления подготовки “Философия”
Лектор С.Н.Тронин
Казань — 2012
Введение.
Краткий очерк истории математики
Перефразируя известное высказывание И.Канта, Имре Лакатос писал: "Философия науки без истории науки пуста; история науки без философии науки слепа" (И.Лакатос, "История науки и ее рациональные реконструкции"). Эта мысль стала теперь практически общепринятой истиной. Поэтому, прежде чем пойдет речь о философии математики, полезно хотя бы в самых общих чертах познакомиться с историей математики, одной из самых древних наук.
В отечественной литературе принято различать четыре основных этапа (периода) эволюции (истории) математики (см., например, статью А.Н.Коломогорова "Математика" в его книге "Математика в её историческом развитии").
Начальный период (глубокая древность) — период донаучной математики. Сюда относят математику древнего Египта, Вавилона, Китая, Индии.
Затем следует период элементарной математики. Это уже научная математика, и научность связана с возникновением понятия доказательства. Математическое доказательство возникло в Древней Греции, и человеком, с чьим именем связывают первые доказательства теорем, был Фалес Милетский (ок. 625-548 до н.э.). В некотором смысле его можно даже считать первым математиком, имя которого нам известно. Период элементарной математики продолжался до середины XVII века.
Греческая (античная) математика заслуживает отдельного рассказа, так как она в конечном счете послужила источником и основой большей части всей современной математики. Приблизительно с 600 г. до н. э. по 300 г. до н.э. длился период, называемый сейчас периодом древнегреческой математики, с 300 г. до н. э. до VI в. н.э — период эллинистической математики. Среди многих известных греческих математиков отметим прежде всего Пифагора (ок. 580-500 до н.э.), Евдокса (ок. 408- ок. 355 до н.э.), Евклида (ок. 356 - ок. 300 до н.э.), Архимеда (ок. 287 - 212 до н.э.), Аполлония (ок. 262 - ок. 190 до н.э.), Диофанта (возможно, III в. н.э.). Трактат Евклида "Начала" оказал ни с чем не сравнимое воздействие, не только на математические исследования и на математическое образование, но, пожалуй, и на всю человеческую культуру. Еще относительно недавно эта книга занимала в Европе второе место по количеству печатных изданий (после Библии). Как учебник, "Начала" во многих отношениях (например, в той своей части, которая относится к геометрии) фактически не имели достойных конкурентов вплоть до конца XVIII века, и окончательно были превзойдены только в XIX или даже в XX веке. Большое влияние на развитие математики (и особенно на развитие философии математики) оказали также величайшие мыслители Греции Платон (427 -347 до н.э.) и Аристотель (384 - 322 до н.э.). Аристотель, в частности, создал логику как науку. Период эллинистической математики закончился в конце первой четверти VI в. н.э., когда император Юстиниан сделал невозможной на территории Византии (Восточной Римской империи) деятельность ученых, сохранявших античные традиции. Следует отметить, что на протяжении всей истории Рима (а в дальнейшем и Византии) не известно ни одного действительно крупного математика, который был бы не греком, а римлянином. Разумеется, потребности практики постоянно требовали определенных математических знаний у достаточно большого количества людей, но в основном всё ограничивалось использованием того, что было ранее создано античными математиками. Теоретическая математика, математика как наука не развивалась, принципиально новые идеи отсутствовали. Сами же античные греки довольно пренебрежительно относились к тому, что сейчас называется прикладной математикой (называя этот род человеческой деятельности не математикой, а "логистикой").
Таким образом, в раннем средневековье развитие математики в Европе практически прекратилось. Однако традиции античной математики не только сохранились, но и получили дальнейшее развитие в мусульманских странах. Одним из крупнейших математиков этого времени был, например, Омар Хайям (1048-1131), более известный как поэт (а также астроном, философ, богослов...). Приблизительно до XVI-XVII вв. уровень математики стран Востока (прежде всего мусульманских) был сначала намного выше, а потом в целом сопоставимым с уровнем европейской математики. Некоторые сочинения древнегреческих математиков стали известны в Европе только в обратном переводе с арабского, т.к. оригиналы были утрачены.
Возрождение математики в Европе начинается примерно с XII века. На первых порах речь идет только о простейших вычислительных навыках, необходимых, например, в торговле и финансовых операциях. Однако к XVI-му веку европейская математика достигает весьма высокого уровня, и в ряде отношений уже обгоняет древнегреческую. То принципиально новое, что внесли в математику европейские ученые XV-XVI веков, касается прежде всего развития понятия числа и (особенно) изобретения и широкого использования символьных обозначений. Символьные обозначения почти полностью отсутствовали у греков (исключением являлся лишь Диофант, но его сочинения не пользовались, по-видимому, большой известностью), и полностью отсутствовали на Востоке. Даже алгебраические задачи (решение уравнений) решались либо в полностью словесном виде, либо с помощью геометрических трюков. Между тем нельзя представить себе современную математику, не использующую самых разнообразных символьных обозначений. В какой-то период (XVII-XIX века) доказательства математических по-сути фактов, выраженные в словесной форме, даже стали считаться чем-то недопустимым, и не относящимся к математике. Некий баланс между словесным и формульным способами выражения математических фактов и суждений был установлен лишь к концу XIX века. Так или иначе, но можно смело утверждать, что именно использование символьных обозначений привело математику к ее нынешнему состоянию, когда она считается даже чем-то вроде универсального языка всей науки. Математиком, в чьих трудах уже можно найти систему символьных (алгебраических) обозначений в близком к современному виде, был Франсуа Виет (1540-1603). Благодаря символьным обозначениями он впервые смог выразить свойства алгебраических уравнения 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней и их корней в виде общих формул, а сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия.
Со середины XVII века начинается отсчет периода математики переменных величин. Его истоки связаны с именами Р.Декарта (1596-1650), И.Ньютона (1643-1727), Г.-В.Лейбница (1646-1716). Метод координат Рене Декарта (независимо открытый также Пьером Ферма) не только установил тесную связь между алгеброй и геометрией, считавшимися ранее весьма различными дисциплинами, но и содержал в своей основе понятие функциональной зависимости, быстро ставшее едва ли не центральным понятием всей математики. Без этого понятия оказалось бы невозможным создание Ньютоном и Лейбницем основ математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений). Математический анализ (называемый еще "высшей математикой") быстро сделался главным разделом всего математического знания, и основным направлением исследований большинства ведущих математиков всего мира (фактически, по обстоятельствам того времени — Западной Европы). В немалой степени это было связано и с тем, что с самого момента его создания была ясно видна перспектива приложений математического анализа к изучению физических (прежде всего — механических) процессов, связанных с различными формами движения и изменения.
Начало периода современной математики отечественные историки математики (и прежде всего А.Н.Колмогоров) связывают с открытием Н.И.Лобачевским (1792-1856) первого примера неевклидовой геометрии (1826, опубликовано в 1829-1830). Кроме создания неевклидовых геометрий, крупнейшие математические события XIX века таковы: строгое логическое обоснование математического анализа (прежде всего в работах Огюстена Луи Коши (1789 - 1857) и Карла Вейерштрасса (1815-1897)), создание символической логики (Джордж Буль (1815 - 1864), Огастес де Морган (1806- 1871), Готлоб Фреге (1848-1925)), создание теории множеств (Георг Кантор, 1845-1918). Этот был век бурного развития всех прежних направлений математики, и появления многих принципиально новых понятий и направлений.
1. Что такое математика. Обзор некоторых точек зрения
Термин "математика" происходит от слова maqhmata, которым греки в V веке до н.э. обозначали различные отрасли знания, а начиная с IV в. до н.э. стали называть четыре научные дисциплины: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.
Впервые термин maqhmatikoz засвидетельствован в одном из поздних диалогов Платона (427-347 до н.э.), и принадлежит, скорее всего, ему самому.
Когда же Архит Тарентский (ок. 428-ок. 365 до н.э.) писал о своих пифагорейских предшественниках, он употреблял другое выражение: "те, кто имеет отношение к maqhmata..."
Известна также интерпретация слова maqhma, в которой оно означает просто науку. Латинское название математики — Mathesis.
Взгляд на математику как на науку о величинах и пространственных фигурах был общепринятым на протяжении многих сотен (если не тысяч) лет. Поскольку каждая величина с помощью подходящим образом выбранной единицы измерения может быть выражена числом, то сущность математики нередко видели в исследовании свойств и зависимостей между числами. Изучение пространственных фигур длительное время также ограничивалось их метрическими свойствами.
Такой взгляд на математику был характерен для XVII, XVIII веков, и частично для первой половины XIX века. В это время главным объектом изучения в математике служили переменные величины, а точнее, разнообразные функциональные связи между величинами.
Поэтому большинство математиков не только XVIII, но и XIX века определяли свою науку прежде всего как науку об измерении величин и фигур. В статье Д`Аламбера (1717-1783) во французской Энциклопедии математика определялась именно как наука о косвенном измерении величин. Аналогичной точки зрения придерживались крупнейший математик XVIII века Л.Эйлер(1707-1783) и живший несколько позднее не мненее крупный математик К.Ф. Гаусс (1777-1855).
Еще одно отличие математики XVIII века от математики XIX века заключался в следующем. Математика считалась, по-существу, методом, а в своих отдельных частях (например, в области дифференциальных уравнений) скорее собранием разрозненных методов решения задач, поставленных естествознанием. Математика имела калькулятивный, вычислительный и формульный (т.е. алгоритмический) характер. Этот характер математики считался самими математиками XVIII века как раз тем свойством, которое отличает ее от других наук.
Там, где приходилось встречаться с недостаточностью традиционных вычислительных алгоритмов, где требовалось применять более общие способы рассуждений, там даже не желали видеть математической проблемы.
Ярким примером такого положения дел может служить история решения Л.Эйлером знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Эйлер считал, что его (собственное) решение имеет мало отношения к математике, "...ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике" (Л.Эйлер. Письма к ученым. М.-Л., 1963. С. 153). Необходимо отметить, что современные специалисты по теория графов (важный раздел дискретной математики) единодушно считают эту решенную Эйлером задачу исходным пунктом своей науки. Однако прошло более ста лет, прежде чем теория графов получила дальнейшее развитие (уже в XX веке).
Длительное время в СССР было господствующим определение математики, данное Ф.Энгельсом (1820-1895) в работе "Диалектика природы" (1894 г.). Оно таково: математика — это наука, которая изучает пространственные формы и количественные отношения действительного мира (при этом упор делался на "действительный мир"). Ничего специфически "марксистского" в этом определении, разумеется, нет, это "обычная" точка зрения эмпиризма, которую многие разделяли и задолго до Энгельса. Однако в то время, когда Энгельс писал "Диалектику природы" (вторая половина XIX века), математика фактически уже "переросла" это определение, и, таким образом, теоретические представления о сущности математики уже тогда заметно отставали от уровня ее реального развития. В частности, именно философское представление о математике как науке о количественных отношениях и пространственных формах реального мира явилось главной причиной того, что математики XIX века долго не могли принять неевклидовы геометрии в качестве полноценных математических теорий.
В отличие от многих других наук, предмет которых со временем практически не меняется (например, комплекс биологических наук изучал и изучает различные виды живых организмов и все, что связано с различными аспектами проявлений жизни, и эта формулировка фактически не зависит от текущего состояния исследований в биологии), понимание того, чем является математика, существенно менялось с течением времени, и, что принципиально важно, всегда зависело от того, чем именно математика занималась в данный момент. В дальнейшем можно наблюдать ту же самую тенденцию: вся математика определяется через один или несколько наиболее актуальных на данный момент изучаемых ею объектов. Например, после появления статьи Н.Бурбаки "Архитектура математики" на некоторое время стала популярной точка зрения, согласно которой математика изучает некие "абстрактные структуры". Примерами таких структур являются структуры группы, частично упорядоченного множества и топологического пространства, а в целом, видимо, имелось в виду приблизительно то же самое, что описано в книге Н.Бурбаки "Теория множеств". Вот как интерпретируется данная концепция в книге профессионального математика Е.М.Вечтомова "Философия математики" (см. в списке литературы).
Математика, согласно Е.М.Вечтомову изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством категорий формы и количества.
Объектом математики как науки служат самые разнообразные проявления формы и количества, рассматриваемые в наиболее общем и чистом виде.
Предметом математики являются математические структуры и математические модели той или иной реальности.
Общий метод математики — строгая дедукция. Общенаучный дедуктивный метод возник именно в рамках математики.
Итак, математика есть наука о форме и количестве и общих схемах их воплощения. Современная математика включает логику как науку о формах правильного мышления.
В сущности, по тому же пути следует и В.А.Канке, который в своей книге "Философия математики, физики, химии и биологии", дает определение математики, согласно которому математика фактически сводится к теории (алгебраических) категорий. Да, теория алгебраических категорий, скорее всего, станет фундаментом всей математики на ближайший период, но, с учетом уже имеющегося опыта, сводить к ней всю математику (и тем более на все времена) как минимум преждевременно. Общепринятого решения этой проблемы (и даже ее понимания) на данный момент, по-видимому, не имеется.
Однако следует отметить точку зрения известного современного французского философа Алена Бадью, который считает, что математика на самом деле — это онтология (и даже так: онтология — это математика). Эта точка зрения нуждается в подробной расшифровке, т.к. речь идет не о той онтологии, которую можно было бы считать общеизвестной (Бадью говорит о "бытии-как-бытии", в его концепции отсутствует Dasein). Преимущество подхода Бадью в том, что полностью снимается привязка к текущему состоянию исследований, если угодно — к математической моде. При этом философия математики становится частью "первой философии". Но пока эту концепцию нельзя назвать ни широко известной, ни, тем более, общепринятой.
2. Математика и философия. Основные направления в философии математики.
Основные проблемы, которые решает философия математики, таковы: осмысление сущности математики, природы и методов и методов математического мышления, отношение понятий и объектов математики к реальности, специфика математического знания, природа математического доказательства, соотношение логики и математики, сущность математической бесконечности, соотношение между чистой и прикладной математикой и т.д.
Историю философии математики можно начинать с учения Пифагора (числа как первооснова всего сущего). В ряде отношений близка к пифагореизму в истолковании математики философия Платона. Несомненно, важный вклад в философию математики (не говоря уже о логике) внес Аристотель. Эти направления — пифагорейское, родственное ему платонистское, и эмпиристское, восходящее к Аристотелю — отчетливо прослеживаются на протяжении всей истории философии, когда речь заходит о математике. Пифагореизм же (в современной интерпретации) можно считать "рабочим" мировоззрением современной предельно математизированной физики.
Математика, по Аристотелю, это не знание об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знание, отвлеченное от вещей. "Геометр и исследователь чисел", утверждает Аристотель, мыслят, "полагая отдельно то, что отдельно не существует", но потому, что они полагают (оставляя в абстракции) нечто, все-таки принадлежащее вещам (например, объем — человеку), то "именно поэтому геометры говорят и правильно рассуждают о том, что на деле существует". Математические сущности, по Аристотелю, получены через отвлечение (абстрагирование). Они "первее по определению, но не по сущности".
В дальнейшем нельзя не отметить философские аспекты отношения к математике таких людей, как Ньютон и Лейбниц, и более подробно следует остановиться на взглядах на математику И.Канта. Кант (как и позднее Э.Гуссерль) был сторонником априоризма. Математический априоризм до сих пор занимает существенное место в философии математики (например, априористских взглядов придерживается В.Я.Перминов). Более кратко могут быть упомянуты такие концепции, как конвенционализм (А.Пуанкаре) и номинализм. Программы обоснования математики начала 20-го века (логицизм, интуиционизм и формализм Д.Гильберта) рассматриваются далее отдельно, поэтому в данном разделе они опускаются. Заслуживает упоминания позиция Л.Витгенштейна (математика как языковая игра). Можно отметить и операционалистскую трактовку математики, данную Ж.Пиаже. В современных учебниках на русском языке (особенно написанных В.Я.Перминовым) наиболее предпочтительной называется формалистская концепция философии математики (формализм тут понимается несколько иначе, чем у Д.Гильберта, он более похож на концепцию математических структур Н.Бурбаки). Большое количество разнообразных концепций современных зарубежных, в основном англо-американских, философов описано в книгах В.В.Целищева и в уже упоминавшийся книге В.А.Канке. Сюда относится, например, квазиэмпиристская концепция И.Лакатоса. В основном же речь в книгах Целищева и Канке идет о представителях того направления, которое принято называть аналитической философией.
Важным классифицирующим признаком для различных концепций в философии математики является их принадлежность либо к фундаменталистскому, либо к нефундаменталистскому (социокультурному) направлению.
Фундаменталистское направление нацелено прежде всего на выяснение природы математического знания, нефундаменталистское анализирует прежде всего развитие (функционирование) математики в социокультурном контексте, и закономерности этого развития. Одним из основателей нефундаментализма является И.Лакатос. Для нефундаменталистов математика есть сложная система, в которую, кроме собственно знаний, включаются производящие и воспроизводящие эти знания субъекты (в широком смысле, включая, например, научные школы и исследовательские коллективы), математические инструменты, а также цели и образцы деятельности по производству нового математического знания. Сущность математики для нефундаменталистов — в закономерностях ее развития. Некоторые проблемы, интересующие нефундаменталистов: влияние культурной среды на развитие математики, зависимость развития математики от внешних влияний, математика как социальный институт, и т.д. Некоторые нефундаменталисты отрицают единство математики. Подробнее см. в книге А.Г.Барабашева " Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования ". Барабашев открыто симпатизирует социокультурному направлению, но признает, что в целом фундаменталистское и нефундаменталистское направления взаимно дополняют друг друга.
И, наконец, нельзя не отметить уже упоминавшуюся выше концепцию А.Бадью. Как выяснил А.Г.Черняков, нечто подобное высказывал еще в начале 20-го века Э.Гуссерль в книге "Формальная и трансцендентальная логика". По Гусерлю, математика — это формальная онтология. (Заметим, впрочем, что сейчас термин "формальная онтология" с математикой чаще всего не связывается.) Концепцию Бадью нельзя считать (во всяком случае пока) имеющей преобладающее значение, но она дает интуитивно более предпочтительные ответы на некоторые фундаментальные вопросы, стоящие перед философией математики. Впрочем, у нее имеются и серьёзные недостатки.
Опишем вкратце основные положения "формалистской" философии математики, которую развивает в своих книгах В.Я.Перминов. (Отметим, что термин "формалистский" используется здесь в ином смысле, чем при описании программы обоснования математики Д.Гильберта.)
Согласно В.Я.Перминову, суть формалистского направления в философии математики выражается в следующем определении математики: это наука об особых формальных структурах, лежащих в основе теоретического мышления.
Те математические теории, которые связаны в своем происхождении с конкретными сферами реальности, обладают определенным содержанием и могут быть определены на основе этого содержания: арифметику можно считать наукой о количественных отношениях реального мира, геометрию — наукой о пространственных отношениях, теорию вероятностей — наукой о случайных и т.п.
Более глубокое проникновение в природу математического знания показывает, однако, что такого рода определения не могут быть положены в основу общего понимания математического знания, поскольку для очень многих математических теорий нельзя указать эмпирической содержательной основы. Приходится признать, что математические теории в общем случае представляют собой чистые понятийные конструкции, определяющей чертой которых является жесткое дедуктивное соподчинение между принципами и частными утверждениями, и математические теории выделяются как особый тип теорий не на основе содержания, а на основе свойственного им метода.
В этом плане математика может быть определена как наука о формальных структурах при понимании формальной структуры как системы отношений, заданных на множестве элементов произвольной природы. Таким образом, математика согласно формалистской концепции — это не учение о мире, имеющее свой предмет, а лишь совокупность логических структур, предназначенных для описания различного рода реальных связей, открываемых опытными науками.
Математическая теория рассматривается не как описание какого-то фрагмента мира, но лишь как метод, как чистая структура, предназначенная для моделирования.
Подразделение математики на элементарную и высшую, на непрерывную и дискретную, на чистую и прикладную, не противоречит единству математики, основанному на единстве ее метода.
Аналогичной позиции придерживался один из крупнейших математиков XX века Саундерс Маклейн (1909-2005), определявший математику как науку, которая ставит своей целью понимание всех возможных формальных аспектов мира путем извлечения форм из практики, развития и использования их, и последующего применения их к тем аспектам мира, которые действительно формальны.
3. Теория множеств и ее роль в современной математике. Математика как наука о бесконечном. Георг Кантор.
Теория множеств была создана Георгом Кантором в 1870-1890-х годах, и уже в 1897-м году на первом международном конгрессе математиков было признано, что она играет чрезвычайно важную роль в математике. В дальнейшем, несмотря на обнаруженные парадоксы (которые после аксиоматизации теории множеств в 1907-м году были устранены), теория множеств быстро стала тем фундаментом, на котором основано все здание современной математики. Множества — это та первичная "глина", из которой можно "вылепить" (точнее, было можно до создания теории (алгебраических) категорий и теории топосов) любые объекты, встречавшиеся в математике. Основное, что было сделано Кантором: а) в математику была введена актуальная бесконечность (вопреки запрету, наложенному еще Аристотелем), причем оказалось, что это понятие жизненно необходимо для математического анализа — ядра всей современной математики и ее приложений к физике и т.п.; б) было показано, что существует бесконечно много различных типов бесконечностей, начиная со счетной бесконечности, каковая есть тип бесконечности множества натуральных чисел (имеет счетную мощность; тип бесконечности называется мощностью данного множества). Множество всех действительных чисел (строгое построение которого было дано тем же Кантором в начале 1870-х годов; впрочем, еще четыре математика примерно в то же время опубликовали эквивалентные конструкции) обладает так называемой мощностью континуума. Кантор показал, что не существует способа взаимно-однозначно сопоставить каждому действительному числу натурального числа, и построил бесконечную иерархию не сводимых друг к другу типов бесконечностей. К 1920-м годам вся математика того времени была переведена на теоретико-множественные "рельсы". Поскольку для математического анализа главную роль играет множество действительных чисел, и другие "большие" множества, примерно в то же время (около 1920-го года) выдающийся математик Герман Вейль с полным основанием заявил, что математика — это наука о бесконечном. Относительно недавно было замечено, что еще в позднеантичное время у неоплатоников в их рассуждениях о Едином и Многом (например, у Прокла) встречаются утверждения (и их доказательства), которые, по-сути, эквивалентны некоторым теоремам теории множеств. Впрочем, еще в 1980-х годах Ален Бадью в книге "Бытие и событие" (см. также его "Манифест философии") предложил онтологическую концепцию, во многих отношениях основывающуюся именно на идеологии аксиоматической теории множеств.
Скажем еще несколько слов о понятии бесконечности. Бесконечность (в широком смысле) — философская категория, используемая для описания неисчерпаемости материи и движения. В данном случае речь пойдет о другом. Бесконечность (в узком смысле) — одно из важнейших понятий философии математики.
В философском плане бесконечность может быть естественно определена через понятие конечного, а именно как возможность выхода за пределы конечного, которая неизбежно предполагается уже в самых первых представлениях арифметики и геометрии. Эта же идея лежит в основе более строгих математических определений бесконечности.
Математическое мышление органически связано с идеей бесконечного в том смысле, что без допущений о возможности выхода за пределы конечного математическое рассуждение вообще не могло бы осуществиться.
В математике (и в философии математики) различают потенциальную бесконечность, состоящую в возможности постепенного, но неограниченного увеличения конечного, и актуальную бесконечность, состоящую в допущении существования бесконечного множества как завершенного.
Еще в древности философы высказывались за недопустимость в математике понятия актуально бесконечного. Аристотель считал, что завершенная бесконечность непознаваема и не поддается представлению. Аналогично мнения придерживались, например, Н.Кузанский, К.Ф.Гаусс, Н.И.Лобачевский.
Тем не менее, практика математического мышления привела к необходимости оперировать завершенными бесконечностями, и принимать математические теории, существенно основанные на понятии актуальной бесконечности. Следует подчеркнуть, что занимающий центральное место в математике (начиная с XVII века) математический анализ (т.е. дифференциальное и интегральное исчисление) оказалось невозможно обосновать без привлечения актуально бесконечных множеств.
Кантор с самого начала работал с бесконечными множествами как с законченными объектами. Канторовская теория множеств (как теория прежде всего актуально бесконечных множеств), несмотря на встретившиеся трудности (см. раздел о парадоксах и кризисах), имела большой успех, и очень быстро оказалась в самом центре всех происходивших в то время математических событий. Оказалось возможным строить всю математику на основе первичных понятий канторовской теории множеств. В целом положение остается таким же и в нынешнее время, хотя уже появились признаки того, что математика "перерастает" теорию множеств.
Основное направление исследования понятия бесконечности в настоящее время — анализ возможностей сведения бесконечного к конечному.
Существуют по крайней мере два подхода к обоснованию понятия бесконечности в математике: финитский, и реалистический (платонистский). В наиболее непосредственной форме идея непосредственного оправдания бесконечных множеств на основе их реалистического толкования была высказана К.Геделем.
Впрочем, в большинстве направлений современной философии математики понятие бесконечности не связывается с какой-либо физической реальностью. Господствующая точка зрения состоит в том, что бесконечность в математике — исключительно мысленная конструкция, выполняющая определенную функцию в систематизации математических операций, которая была бы необходимой даже в том случае, если бы мироздание оказалось конечным в каком-то существенном смысле.
Это значит, что современная философия математики берет это понятие преимущественно в гносеологическом плане, рассматривая его как элемент понятийных систем, и отделяет проблему математической бесконечности от проблемы бесконечности в физике и космологии.
Если взглянуть на проблему бесконечности с точки зрения математической практики, то ситуацию можно описать следующим образом. Физический смысл (и практическое применение) имеют только конечные в том или ином смысле математические объекты (например, рациональные числа). Но дело в том, что в современной математике конечного относительно немного. Большинство уравнений не допускают точных решений, или же решения представимы в виде символических объектов (функций), которые еще надо перевести в пригодную для практического использования численную форму, а это можно сделать только приближенно. Таким образом, имеются конечные (финитные) математические объекты и их идеальные (бесконечные) прообразы. Вся вычислительная (прикладная) математика основана на финитизации бесконечных денотатов (символьных выражений) действительных чисел, и работает с конечными образами бесконечных денотатов. При этом вопрос о том, является ли бесконечный денотат (комбинация символов) актуально-бесконечным, или же потенциально бесконечным, в вычислительной математике полностью игнорируется.
Монопольное положение тории множеств как фундамента всей математики было поколеблено в 1970-х годах, когда обнаружилось, что существует огромный класс алгебраических категорий (так называемые элементарные топосы), в которых имеются внутренние средства для выражения (в принципе) всего того, что может быть выражено с помощью множеств, хотя в каждом конкретном случае получаются какие-то иные "математики". Это открытие смело можно сопоставить с открытием неевклидовых геометрий, только в данном случае речь идет об открытии бесчисленного количества не-теоретико-множественных "математик". Впрочем, математик (без кавычек) тем самым отнюдь не стало много, математика осталась единой, но чрезвычайно широко раздвинула свои границы. Следует заметить, что сама теория множеств, если ее рассматривать как (алгебраическую) категорию, является примером топоса (весьма частным), а аксиомы, определяющие категории, логически независимы от аксиом теории множеств. Это означает, что в перспективе фундаментом всей математики на какое-то время может стать именно теория алгебраических категорий (созданная С.Маклейном и С.Эйленбергом около 1945-го года).
4. Кризисы в математике. Парадоксы в логике и теории множеств
Речь идет 1) о первом кризисе оснований математики, который возник в Древней Греции во времена Пифагора после обнаружения несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, и был разрешен (по мнению современных историков математики) Евдоксом Книдским, создавшим теорию отношений; 2) о втором кризисе, который связан с созданием в 17-м веке дифференциального и интегрального исчисления, и суть его заключалась в том, что эти исчисления не имели строгого обоснования до середины 19-го века; 3) и о третьем кризисе, который начался с обнаружения парадоксов в Канторовской теории множеств. Закончен ли этот третий кризис — тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например, отсутствие строгого обоснования у континуального интеграла).
Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а также целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г.Фреге). Но, возможно, одним из самых недооцененных явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963-м году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения.
5. Программы обоснования математики начала XX века: логицизм (Г.Фреге, Б.Рассел, А.Н.Уайтхед), интуиционизм (Л.Э.Я.Брауэр, Г.Вейль) и формализм (программа Д.Гильберта).
В работах по философии математики широко употребляется словосочетание "основания математики". Речь не идет об ”основаниях" как об основах (основы — это, например, теория множеств или теория алгебраических категорий), речь идет об основаниях в смысле обоснования, т.е. в смысле логической обоснованности неких исходных предпосылок всей математики. В этом разделе мы будем употреблять термин основания в смысле обоснования.
В настоящее время под основаниями математики понимается совокупность исследований, направленных на анализ строгости доказательств и непротиворечивости математических теорий. Как особая область исследований основания математики появились в начале XX века в связи с проблемой устранения парадоксов, появившихся в теории множеств.
Первая задача оснований математики — обоснование строгости признанных доказательств, и освобождение существующих математических теорий от известных парадоксов. Эту задачу надо считать в настоящее время в целом решенной.
Вторая задача оснований математики — выявление условий полной надежности математических теорий в смысле строгости доказательств и отсутствия противоречий. На данный момент преобладает мнение, что в рамках чисто логических подходов эта задача неразрешима.
Парадоксы, обнаруженные в теории множеств в конце 19-го и начале 20-го веков, повлекли за собой то, что ныне называется третьим кризисом оснований математики. Многим крупным математикам показалось, что математика гибнет и ее надо спасать. Наиболее простой выход пре