Законы Кирхгофа.
Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа.
Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.
Где n – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 - I2 + I3 - I4 + I5 = 0
Рис. 1
В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.
Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре
где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветви.
Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2) Е1 - Е2 + Е3 = I1R1 - I2R2 + I3R3 - I4R4
Замечание о знаках полученного уравнения:
1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;
2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.
Составление для схемы уравнений по законам Кирхгофа. Пример.
Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в, число ветвей, содержащих источники тока, - вит и число узлов у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется в - вит. Перед тем как составить уравнения, необходимо произвольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.
Рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например по часовой стрелке.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов без единицы, т. е. у - 1.
Уравнение для последнего у -го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для у - 1 узлов.
По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу ветвей без источников тока (в - вит), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е. (в - вит) - (у - 1) = в - вит - у + 1.
Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока.
При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.
Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют.
Пример 10. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.9, в которой Е1 = 80 В, Е2 = 64 В, R1 = 6 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 1 Ом.
Решение. Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис. 2.9, в = 3; вит = 0; у = 2.
Следовательно, по первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравнение:
I1 + I2 = I3 (а)
Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим в - вит - (у - 1) = 3 - 0 - (2 - 1) = 2 уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.
Для контуров R1E1R2E2
I1R1 - I2R2 = E1 + E2 (б)
Знак плюс перед I1R1 взят потому, что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак минус перед I2R2 - потому, что направление I2 встречно обходу контура.
Для контура E2R2R3R4
I2R2 + I3 (R3 + R4) = - E2 (в)
Совместное решение уравнений (а) - (в)дает I1 = 14 А, I2 = - 15 А, I3 = - 1 А.
Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно, в результате расчета какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи I2 и I3, что следует понимать так: действительные направления токов I2 и I3 не совпадают с выбранными.
Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из них входило по одной ветви, не входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Под деревом понимают совокупность ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного замкнутого контура. При составлении системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять любое дерево из возможных.
