Классификация функций по аналитическому выражению

Способы задания функций

1. Аналитический: состоит в задании функции с помощью формулы или аналитического выражения.

· Явное задание функции

1) с помощью одного аналитического выражения: , под областью определения понимают естественную область определения функции;

2) с помощью нескольких аналитических выражений , под областью определения понимают объединение областей определения всех функций

3) в другой системе координат (полярной): ,

О

Примеры: спираль Архимеда ,

окружность где R – радиус окружности;

кардиоида и др.

Связь полярной и декартовой систем координат выражается системами уравнений

При построении графика функции в полярной системе координат бывают полезными следующие утверждения:

· если , график симметричен относительно полярной оси;

· если , график симметричен относительно полюса;

· если - линия замкнута;

· если , тогда кривая состоит из n частей, получаемых друг из друга поворотами на углы вида .

· Неявное задание функции: задание функции с помощью уравнения с двумя переменными F(x;y)=0. Пример: – уравнение окружности с центром в точке (0;0) и радиусом R; неявное уравнение эллипса , где a и b – полуоси, неявное уравнение астроиды .

· Параметрическое задание функции: обе переменные x и y выражаются через третью переменную – параметр t,

Уравнение окружности в параметрическом виде ,

Уравнение эллипса в параметрическом виде ,

Уравнение циклоиды в параметрическом виде ,

Уравнение астроиды в параметрическом виде ,

2. Табличный: состоит в задании функции с помощью таблицы .

3. Графический: состоит в задании функции с помощью графика. Графиком функции называется множество точек, вида (x;f(x)). График функции представляет собой некоторую кривую на плоскости, но не всякая кривая является графиком какой-либо функции. Например, единичная окружность не является графиком функции, так как любому соответствуют два различных значения у.

4. Словесный (описательный): задание функции с помощью указания какого-либо характеристического свойства, которым обладают ее значения.

Пример 1: Функция у равна целой части (действительного) числа х, то есть равна наибольшему целому числу, не превосходящему х. Целую часть числа х принято обозначать [х] (антье икс). Из определения антье следует, что . Воспользовавшись обозначением антье, данную функцию можно задать и аналитически: у=[х]. Наконец, эту же функцию можно задать графически: (стрелочки означают, что правые концы отрезков не принадлежат графику (а левые принадлежат).

Функция, в которой каждому x соответствует его дробная часть, называется дробной частью числа .

Пример 2. Функция у равна 1, если х - положительное число, равна -1, если х - отрицательное число, равна 0, если х=0. Эта функция имеет специальное обозначение у=sgn х (сигнум икс). Ту же функцию можно задать и аналитически, причем разными формулами:

или

Наконец, для функции y=sgn x можно построить график:

Пример 3: Функция Дирихле или

Классификация функций по аналитическому выражению

Все функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если существует такой многочлен P(x;y)=0, такой что

Среди алгебраических функций выделяют:

1. Целые рациональные функции: функции,заданные целыми рациональными выражениями (независимая переменная, операции сложения, умножения, деление на число) – многочлены n-ной степени:

2. Дробно – рациональные функции: функции, заданные дробно-рациональными выражениями (независимая переменная, операции сложения, умножения, деление на переменную) – общий вид:

3. Иррациональные функции: функции, заданные с помощью иррационального выражения (добавляется операция извлечения корня n-ной степени из неизвестной)

Трансцендентные функции: функции, заданные с помощью трансцендентных выражений (cos x, sin x, tg x, ctg x, lg x, и т.д.)

Функции подразделяют также на основные элементарные, элементарные и неэлементарные. К основным элементарным функциям относятся следующие функции:

1. Степенная функция у = х^а (а - постоянное действительное число). При а=0 степенная функция есть постоянная величина у=1; при а=1 получается функция у=х (прямая пропорциональная зависимость). Если а=2, то степенная функция у=х² является квадратичной, а если а=-1, то получается обратно пропорциональная зависимость .

2. Показательная функция у = а^х (а – постоянное положительное число, ). Особую роль в математике играет показательная функция с основанием е, то есть функция у = е^х. Число е - иррациональное число (так же, как и число p - иррациональное), его можно записать в виде бесконечной непериодической дроби: е=2,7182818284590.... Функцию у =е^х называют экспоненциальной функцией. Иногда эту функцию записывают и так: у=exp x.

3. Логарифмическая функция у = log_a х (а - постоянное положительно число, ). На практике часто используются логарифмы по основанию а=10 или десятичные логарифмы. Для десятичного логарифма принята сокращенная запись lg х. Основание а=е также играет особую роль (как и показательных функциях), поэтому логарифм по основанию а=е обозначают специальным образом ln х и называют натуральным логарифмом числа х.

4. Тригонометрические функции у=sin х, у=соs х, у=tg х, у=ctg х, у=sec x, у=соsec х. Напомним, что функции , , функция секанс x и функция косеканс х.

5. Обратные тригонометрические функции у=arcsin х, у=arccos х, у=arctg х, у=arcctg x.

Функции, которые получаются из основных элементарных функций помощью конечного числа арифметических операции (сложения, вычитания, умножения, деленияи извлечения корня n-ной степени) и композиции функций, называются элементарными функциями.

Композицией функций (функцией от функции, сложной функцией) называется функция или аргументом которой является некоторая элементарная функция , x – независимая переменная.

Примеры сложных функций: у=соs2х, у=sinx², y=sin²x.

Заметим, что функции у=[х] и у=sgn х не являются элементарными в смысле определения, данного выше.