Введение
В евклидовой плоскости исследуем геометрическую задачу на минимум. В задаче нужно найти точку, наименее удаленную от вершин данного треугольника. Во этом случае длина – обычная (евклидова). Постановка задач выглядит несколько непривычно: что значит «точка, наименее удаленная от вершин треугольника»? У треугольника три вершины, значит, есть три расстояния от точки до этих вершин. Какое из них должно быть наименьшим? Или все три сразу? Именно эти вопросы определили актуальность нашего проекта.
Цель работы: исследовать решения задач на минимум, как находится ответ и как правильно он обосновывается, используя понятие нормы.
Задачи работы:
1. Изучить понятие нормы числа.
2. Рассмотреть решение задачи Ферма-Торричелли–Штейнера
3. Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая.
Методы исследования:
• Работа с учебной и научно-популярной литературой.
• Анализ геометрических задач на минимум.
• Решение геометрических задач на минимум.
• Использование компьютерной программы «Математический конструктор 1С».
Ожидаемые результаты:точка, сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая – точка пересечения медиан треугольника.
Норма набора чисел
Если нам даны два числа, мы можем легко их сравнить и выяснить, какое больше. А как сравнить два набора чисел? Пусть есть наборы чисел 
и 
. Какой из них больше? Например, простая ситуация: есть двое весов, нам нужно понять, какие работают лучше. Провели три контрольных взвешивания. Первые весы сначала ошиблись на 10 граммов (в какую сторону – не важно), потом на 3 грамма, потом на 4. Вторые весы – соответственно, на 5, 8 и 6 граммов. Получается, что у нас есть два набора чисел 
и 
Какой из них меньше, те весы точнее. Так какие же? Первое, что можно сделать, – найти максимум трех чисел. У первого набора это 10, у второго 8. По такому измерению больше набор 
, и, значит, первые весы хуже (они сделали самую большую ошибку). Можно поступить по-другому: сложить числа каждого набора. Здесь получается наоборот: первый набор меньше второго (17 против 19), значит, первые весы лучше. Математикам часто удобнее иметь дело не с суммой чисел и не с максимумом, а со средним квадратическим, т.е. с корнем из суммы квадратов. По этому показателю в каждом наборе получаем 
, т.е. весы работают одинаково. Результат зависит от того, как сравнивать. Меры, которые мы при этом использовали, называются Lp -нормами наборов чисел.
Определение: Пусть дан набор чисел 
и число p≥1. Тогда Lp – нормой данного набора называется величина
.
Необходимость сравнивать наборы чисел возникает в математике постоянно, в самых разных задачах. И в большинстве случаев это делается с помощью Lp – нормы. При этом вопрос, какое взять p, решается, исходя из конкретной задачи.
С помощью Lp -нормы можно не только сравнивать наборы чисел, но и по-новому измерять расстояния между точками. Одно из фундаментальных понятий математики – пространства Lp. Общего определения дать не сможем, а рассмотрим только простейший случай: двумерное пространство Lp. Это обычная плоскость, в которой задана обычная декартова система координат, а расстояния между точками определяются как Lp -норма разностей их координат. Lp - расстоянием между точками A и B – его обозначают 
– называется Lp – норма набора из двух чисел: разность абсцисс точек А и В и разность ординат. Таким образом, расстояние между точками 
и 
– это 
.
Точка, наименее удаленная от вершин треугольника.
Общая задача: Для данного остроугольного треугольника найти точку с наименьшей Lp – нормой трех расстояний от нее до вершин треугольника.
Итак, для произвольного p ≥ 1 нужно найти точку M, для которой величина 
наименьшая. Для каждого p получается своя задача.
Задача 1. (p=1). Найти точку, сумма расстояний от которой до вершин данного остроугольного треугольника наименьшая (задача Ферма-Торричелли–Штейнера).
Задача 1 известна уже более 350 лет. Впервые она была опубликована в 1659 году Винченцо Вивиани (1622–1703), итальянским физиком и математиком, учеником Галилея. Но еще до этого она была решена другим учеником Галилея, Эванджелиста Торричелли (1608–1647), тем самым, который открыл законы давления жидкости. По некоторым сведениям, Торричелли узнал об этой задаче от великого французского математика Пьера Ферма (1601–1665), с которым состоял в переписке. По этой причине точку Торричелли называют также точкой Ферма. Позже швейцарский геометр Якоб Штейнер (1796–1863) нашел чисто геометрическое решение задачи
Ответом в задаче служит точка внутри треугольника, из которой все три стороны видны под равными углами в 120°. Она называется точкой Торричелли. У любого остроугольного треугольника есть единственная точка Торричелли.