Математическое программирование
Методы математического программирования позволяют вычислить точки минимума функционалов на множествах конечномерных пространств. Методы оптимизации предназначены для вычисления минимизирующих или максимизирующих элементов функционалов в соответствующих пространствах, определяющих оценки для выбора вариантов.
Классификация задач математического программирования
Существуют различные способы формулировки и формализованной записи задачи математического программирования. В этих постановках в той или иной форме отображаются целевая функция и ограничения.
В зависимости от вида целевой функции и ограничений сформировался ряд классов задач математического программирования (табл. 2.1).
Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.
Таблица 2.1. Классификация задач математического программирования
21. Задача условной оптимизации (линейного программирования). Целевая функция и ограничения. Способы решения задачи условной оптимизации. Компьютерная технология решения задачи условной оптимизации.
Задача условной оптимизации (3.16) может быть сформулирована как задача безусловной оптимизации с помощью методов Лагранжа или штрафных функций. Тогда применяются методы безусловной оптимизации. [4]
Вообще задачи условной оптимизации более сложны, чем задачи безусловной оптимизации. Для их решения используют специально разработанные методы программирования с ограничениями. Одним из таких методов, которые относятся к методам поиска глобального экстремума, является метод сканирования, состоящий в том, что допустимая область поиска, определяемая системой ограничений, разбивается на k подобластей, в центре каждой из которых определяется значение целевой функции. Если целевая функция зависит от п параметров, необходимо выполнить kK вариантов расчета. Для надежного определения глобального минимума необходимо увеличивать число k подобластей, что приводит к большим затратам машинного времени. [5]
В задачах условной оптимизации, в которых ограничения заданы только в виде неравенств, возможно построение обобщенного критерия оптимальности с помощью барьерных функций. Значения, принимаемые барьерной функцией, неограниченно возрастают при приближении к границе допустимой области. [6]
Если решается задача условной оптимизации (размерность вектора х небольшая) и нет априорной информации относительно расположения экстремума целевой функции, целесообразно генерировать план эксперимента, используя равномерный закон распределения случайных величин на допустимой области. [7]
При решении задач условной оптимизации целесообразно использовать методы безусловной оптимизации, учитывая большое количество разработанных по этим методам программ. С этой целью задача условной оптимизации сводится к задаче безусловной оптимизации устранением ограничений путем преобразования параметра xt, на значения которого наложены ограничения, в неограничиваемый. [8]
Итак, решение задачи условной оптимизации при нескольких ограничениях сведено к многократному решению задачи условной оптимизации с одним ограничением. Здесь же возникает задача оптимального изменения симплекса Р, например, правило выбора изменения Р и выбор шага изменения АР. [9]
Методы непосредственного решения задачи условной оптимизации, основанные на движении из одной допустимой точки, где выполнены все ограничения, к другой допустимой точке с лучшим значением целевой функции. Эти методы часто называются методами возможных направлений. [10]
По общему свойству задач условной оптимизации следует, что с расширением выбора (6.7.1) (при росте и) шансы на более высокий уровень ожидаемрй полезности увеличиваются. [11]
По общему свойству задач условной оптимизации следует, что с расширением выбора (6.7.1) (при росте п) шансы на более высокий уровень ожидаемой полезности увеличиваются. [12]
Задача (1.1) называется задачей условной оптимизации (условной задачей), если X - собственное подмножество пространства Rn. Однако для многих условных задач минимум достигается именно на границе, в силу чего для них эти классические результаты анализа неприменимы. Вообще при переходе от безусловных к условным задачам все вопросы оптимизации становятся более сложными. Численным и качественным методам условной оптимизации, изучению различных классов условных задач посвящена большая часть данного курса. [13]
В книге рассмотрены лишь задачи условной оптимизации, при этом предполагалось, что основные сведения, связанные с определением безусловного максимума функции, читателю известны. [14]
Наличие ограничений приводит к задаче условной оптимизации, при которой находится условный экстремум целевой функции. [15]
22. Формулирование задачи нелинейного программирования в общем виде. Способы решения задачи нелинейного программирования (метод Ньютона, и т.д.). Компьютерная технология решения задачи нелинейного программирования.
Решить задачу нелинейного программирования - это значит найти такие значения управляющих переменных xj, j=1, n, которые удовлетворяют системе ограничений (6.2) и доставляют максимум или минимум функции f.
Для задачи нелинейного программирования, в отличие от линейных задач, нет единого решения. В зависимости от вида целевой функции (6.1) и ограничений (6.2) разработано несколько специальных методов решения, к которым относятся методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программирование, градиентные методы, ряд приближенных методов решения, графический метод. Заметим, что нелинейное моделирование экономических задач часто бывает довольно искусственным. Большая часть экономических проблем сводится к линейным моделям.
23. Понятие динамического программирования. Классификация задач динамического программирования. Компьютерная технология решения задачи динамического программирования
Динамическое программирование – один из наиболее мощных методов оптимизации. С задачами принятия рациональных решений, выбора наилучших вариантов, оптимального управления имеют дело специалисты разного профиля. Среди методов оптимизации динамическое программирование занимает особое положение. Этот метод исключительно привлекателен благодаря простоте и ясности своего основного принципа – принципа оптимальности. Сфера приложения принципа оптимальности чрезвычайно широка, круг задач, к которым он может быть применен, до настоящего времени еще полностью не очерчен. Динамическое программирование с самого начала выступает как средство практического решения задач оптимизации.
Возникновение этого метода связывают с именем американского ученого Р. Беллмана, который в начале 50-х годов ХХ века применил к ряду конкретных задач прием, названный впоследствии принципом оптимальности. Основной областью приложения последнего являются многошаговые процессы, т. е. процессы, развивающиеся во времени, что дало основание назвать новый метод оптимизации динамическим. Указанием на динамичность этот метод отличался от линейного и математического программирования, исходная постановка основных задач которых имела статический характер.
Трудно дать четкое определение динамическому программированию. Укажем лишь на три характерные его особенности. Кроме принципа оптимальности, основного приема исследования, большую роль в аппарате динамического программирования играет идея погружения конкретной задачи оптимизации в семейство аналогичных задач. Третьей его особенностью, выделяющей его среди других методов оптимизации, является форма конечного результата. Применение принципа оптимальности и принципа погружения в многошаговых, дискретных процессах приводят к рекуррентно-функцио-нальным уравнениям относительно оптимального значения критерия качества. Полученные уравнения позволяют последовательно выписать оптимальные управления для исходной задачи. Выигрыш здесь состоит в том, что задача вычисления управления для всего процесса разбивается на ряд более простых задач вычисления управления для отдельных этапов процесса.
Главным недостатком метода является, говоря словами Беллмана, «проклятие размерности» – его сложность катастрофически возрастает с увеличением размерности задачи.
24. Понятие числового и временного рядов. Модели обработки временных рядов. Компьютерная технология обработки временных рядов.
Временно́й ряд (или ряд динамики) — собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки
Ана́лиз временны́х рядо́в — совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.
Пример временного ряда
Временные ряды состоят из двух элементов:
· периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;
· числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.
Временные ряды классифицируются по следующим признакам:
· по форме представления уровней:
· ряды абсолютных показателей;
· относительных показателей;
· средних величин.
· по количеству показателей, для которых определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;
· по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени. Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможности суммирования их уровней. Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счёта. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;
· по расстоянию между датами и интервалами времени выделяют равноотстоящие — когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами и неполные (неравноотстоящие) — когда принцип равных интервалов не соблюдается;
· по наличию пропущенных значений: полные и неполные временные ряды;
· временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции (ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины.
· в зависимости от наличия основной тенденции выделяют стационарные ряды, в которых среднее значение и дисперсия постоянны, и нестационарные, содержащие основную тенденцию развити
25. Область применения и сущность имитационного моделирования. Классификация имитационных моделей. Компьютерная технология проведения имитационного моделирования.
Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.
Имитационное моделирование — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).
Имитационное моделирование — это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.
Имитационным моделированием иногда называют получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов[1].
Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.
К имитационному моделированию прибегают, когда:
· дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
· невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
· необходимо сымитировать поведение системы во времени.
· Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами — разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуе Агентное моделирование — относительно новое (1990-е-2000-е гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей — получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении её отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент — некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.
· Дискретно-событийное моделирование — подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие, как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений — от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960-х годах.
· Системная динамика — парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах.
26. Назначение и классификация специализированных математических пакетов. Перечень операций, выполняемых в пакете Mathcad.
Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения для коллективной работы
Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.
Среди возможностей Mathcad можно выделить:
· Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами
· Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)
· Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте
· Выполнение вычислений в символьном режиме
· Выполнение операций с векторами и матрицами
· Символьное решение систем уравнений
· Аппроксимация кривых
· Выполнение подпрограмм
· Поиск корней многочленов и функций
· Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей
· Поиск собственных чисел и векторов
· Вычисления с единицами измерения
· Интеграция с САПР-системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров
С помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.
Mathcad относится к системам компьютерной алгебры, то есть средств автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB, а также с их аналогами MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования.
1 Финансовое планирование — это планирование всех доходов и направлений расходования денежных средств для обеспечения развития организации. Основными целями этого процесса являются установление соответствия между наличием финансовых ресурсов организации и потребностью в них, выбор эффективных источников формирования финансовых ресурсов и выгодных вариантов их использования.
В процессе финансового планирования устанавливается оптимальная пропорция между финансовыми и материальными ресурсами. Финансовое планирование в организациях взаимосвязано с планированием хозяйственной деятельности и строится на основе показателей производственного плана (объема производства, реализации, сметы затрат на производство, плана капитальных вложений и т. д.). В процессе составления проекта финансового плана осуществляется критический подход к показателям производственного плана, выявляются и используются неучтенные в них внутрихозяйственные резервы и пути более эффективного использования производственной мощности предприятия, более рационального расходования материальных ресурсов, повышения качества продукции, расширения ассортимента и др. Вместе с тем финансовое планирование призвано определить оптимальные пропорции в сфере финансовых отношений, т. е. обеспечить рациональное соотношение между объемом, темпами роста производства и финансовыми ресурсами предприятия, между бюджетными, собственными и кредитными ресурсами, направляемыми на расширение производства.
Финансовое планирование осуществляется посредством составления финансовых планов разного содержания и назначения в зависимости от задач и объектов планирования. Исходя из этого финансовые планы следует разделить на долгосрочные, текущие и оперативные.
В долгосрочном финансовом плане определяются ключевые финансовые параметры развития организации, разрабатываются стратегические изменения в движении ее финансовых потоков. В текущем финансовом плане все разделы плана развития организации увязываются с финансовыми показателями, определяются влияние финансовых потоков на производство и продажу, конкурентоспособность организации в текущем периоде. Оперативный финансовый план включает краткосрочные тактические действия — составление и исполнение платежного и налогового календаря, кассового плана на месяц, декаду, неделю.
Задачи финансового планирования:
§ выявление резервов увеличения доходов организации и способов их мобилизации;
§ эффективное использование финансовых ресурсов, определение наиболее рациональных направлений развития организации, обеспечивающих в планируемом периоде наибольшую прибыль;
§ увязка финансовых ресурсов с показателями производственного плана организации;
§ обеспечение оптимальных финансовых взаимоотношений с бюджетом, банками и другими финансовыми структурами.
Объектами финансового планирования являются:
§ движение финансовых ресурсов;
§ финансовые отношения, возникающие при формировании, распределении и использовании финансовых ресурсов;
§ стоимостные пропорции, образуемые в результате распределения финансовых ресурсов.
2 Финансовый план — это комплексный план функционирования и развития предприятия в стоимостном (денежном) выражении. В финансовом плане прогнозируются эффективность и финансовые результаты производственной, инвестиционной и финансовой деятельности фирмы.
В финансовом плане отражаются конечные результаты производственно-хозяйственной деятельности. Он охватывает товарно-материальные ценности, финансовые потоки всех структурных подразделений, их взаимосвязь и взаимозависимость.
Финансовый план является завершающим синтезирующим и отражающим в стоимостном выражении результаты деятельности фирмы. Информационной базой для составления финансового плана является главным образом, бухгалтерская документация. В первую очередь, это бухгалтерский баланс и приложения к балансу.
В финансовом плане фирмы, предприятия находят отражение:
§ доходы и поступления средств;
§ расходы и отчисления денежных средств;
§ кредитные взаимоотношения;
§ взаимоотношения с бюджетом.
· 3 Представление предприятия зарубежному партнеру или инвестору.Система предлагает удобный инструмент для преобразования бухгалтерских отчетов в формы отчетности, удовлетворяющие международным стандартам, «переводит» их на английский язык и помогает подготовить отчет о финансовом состоянии предприятия, понятный зарубежному бизнесмену.
· Мониторинг финансового состояния предприятия. Система позволяет рассчитать важнейшие финансовые показатели, проанализировать в динамике различные стороны финансово-хозяйственной деятельности предприятия и выявить круг проблем, требующих особого внимания руководителя.
· Контроль финансового положения заемщиков или дочерних компаний. Возможно наглядное представление в динамике основных индикаторов финансово-хозяйственной деятельности ряда предприятий и своевременное обнаружение неблагоприятных тенденции.
· Оценка стоимости пакета акций компании, которые не котируются на рынке, с учетом стоимости производственных ресурсов, себестоимости продукции, годового объема выручки, стоимости запасов, дебиторской и кредиторской задолженности и других факторов, влияющих на стоимость компании.