Вопросы для подготовки к экзамену по математике за 1 семестр
Курса.
1.Действительные числа – это положительные числа, отрицательные числа или нуль. Все действительные числа делятся на рациональные и иррациональные. Рациональные – это числа, представленные в виде дроби. Иррациональные – это действительное число, не являющееся рациональным.
2. Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x).
Интервальный.
Параметрический: x = x(t), y = y(t).
Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0.
В виде ряда, составленного из известных функций.
Табличный.
Графический.
3.Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x.
Область значений функции E(f) значений пер— множество всех допустимых еменной y.
4.Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.
5.Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций
6. 1) Если Вам необходимо умножить две степени с рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить. ap * aq = ap+q.
2) Если необходимо разделить две степени c рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть.
ap / aq = ap-q.
3). Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.(ap)q = ap*q
4) Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.(a * b)p = ap * bp
5) Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной дроби в степень.(a / b)p = ap / bq
6). Если некоторая дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.
7.-
8. Функция, заданная формулой y=ax (где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.
1. область определения — множество R действительных чисел.
2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел.
3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.
ax1<ax2, если x1<x2,(a>1);
ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1).
4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства
axay=ax+y;axay=ax−y;(ab)x=axbx;(ab)x=axbx;(ax)y=axy.
1) для случая a>1:
2) для случая 0<a<1:
9. Логарифм числа b по основанию a, где a>0, a≠1 и b>0 – это показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы в результате получить b.
10. Свойства логарифмов:
7) Формула перехода к новому основанию:
Десятичный логарифм:
lg a = log10a
Натуральный логарифм:
lna = logea, e ≈ 2,718…
11. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа 
есть решение уравнения 
Десятичный логарифм числа существует, если 
Принято обозначать его 
.
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), log e (x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.
12.
. 
13. Функцию, заданную формулой y = logax, называют логарифмической функцией с основанием a.
(a >0, a ≠1)
Основные свойства логарифмической функции:
1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел.
D (f)=(0;+∞);
2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел.
E (f)=(−∞;+∞);
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a >1 или убывает
при 0< a <1.
14. Определение.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Определение.
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
15.
16.
Основные тригонометрические тождества
· sin² α + cos² α = 1
· tg α · ctg α = 1
· tg α = sin α ÷ cos α
· ctg α = cos α ÷ sin α
· 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
· 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
17.
18.
19.
«+»
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
«-»
a − (b + c) = (a − b) – c или a − (b + c) = (a − с) – b
(a − b) − c = a − b – c
(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с) или (a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)
a − 0 = a a − a = 0
Уметь:
1. Решать уравнения с одной переменной.
2. Решать неравенства методом интервалов.
3. Решать уравнения с модулем.
4. Решать задачи на проценты.
5. Находить область определения и область значения функции.
6. Находить обратную функцию.
7. Вычислять пределы функции.
8. Находить значения корня, степени.
9. Решать иррациональные уравнения и неравенства.
10. Выполнять преобразования показательных выражений
11. Решать показательные уравнения и неравенства.
12. Выполнять преобразования логарифмических выражений.
13. Решать логарифмические уравнения и неравенства.
14. Находить значения тригонометрических выражений на основе определения.
15. Доказывать тригонометрические тождества.
1 вариант
Часть А.
| К каждому заданию этой части приведены 3 или 4 варианта ответа(в зависимости от задания).При выполнении этих заданий надо указать номера верного ответа. |
А1. Корень уравнения 
равен
1) 
2) -1,4
3) 0,6
4) 
А2. Решите неравенство: 
<0.
1) (-3,5;-0,8)
2) 
3) (
] 
[ 
)
4)[-3,5;-0,8]
А3. В таблице приведена стоимость работ по покраске стен. Пользуясь данными, представленными в таблице, определите, какова будет стоимость работ, если площадь стены 60 м2, стена белая, и действует сезонная скидка в 5%.
| Цвет стены | Цена в рублях за 1 м2 (в зависимости от площади помещения) | |||
| до 20 м2 | от 21 до 40 м2 | от 41 до 60 m2 | свыше 60 м2 | |
| белый | ||||
| салатный |
1) 7125
2) 7150
3) 7410
4) 7500
А4. Найдите область определения функции: у = 
.
1) (-3;3)
2) (-9;9)
3) 
4) 
А5. Для каждой функции, заданной формулой, укажите её график
1) 
2) 
3) 
А6. Вычислить предел функции 
1) 9
2) 23
3) 3
4) 11
А7. Найдите продолжение формулы 
1) 
2) 
3) 
4) 
А8. Решите уравнение 
1) 0
2) 2
3) -2
4) 4
А9. Решите уравнение 
1) 1
2) 0
3) 2
4) 3
А10. Продолжите формулу 
1) 
2) 
3) 
4) 
А11. Найдите значение 
1) 
2) 
3) 
4) 
А12. Вычислить: 
1) 0
2) 1
3) -2
4) 2
Часть В.
| К заданиям этой части дайте краткий ответ. |
В1. Решить уравнения: 
=2.
В2. Найти предел: 
.
В3. Решите неравенство: 
< 
.
В4. Решите уравнение: 
.
В5. Вычислите: 
.
Часть С.
| При выполнении заданий этой части надо записать обоснованное решение. |
С1. К 200 г раствора, содержащего 60% соли добавили 300 г раствора, содержащего 50% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?
С2. Решите уравнение: 
.
С3. Упростите выражение: 
.