Временные ряды
ARIMA - авторегрессионная модель проинтегрированного скользящего среднего
Допустим, Вы изучаете, как работает так называемое "сарафанное радио", т.е. как Ваши клиенты невольно распространяют Вашу рекламу. Покажем возможности применения моделей ARIMA на этом примере:
Введем следующие обозначения
x(t) - объем заказов за t -й месяц
x(t-1) - объем заказов за (t -1)й месяц
e(t-1) - отклонение прогноза в предыдущем периоде от фактического объема заказа прошлого месяца
Оценим с помощью метода наименьших кварадтов модель
подставим оценки коэффициентов
полученные результаты позволяют нам сделать следующий вывод:
При прочих равных, эффект сарафанного радио увеличивает количество клиентов в среднем на 5% в месяц, а отклонения прошлого периода, не учтенные этой моделью входят с коэффициентом 0,14. Что это за отклонения, и зачем они нужны? Вспомним пример о маркетинговой акции и включим в число объясняющих переменных фактор budget, обозначающий величину бюджета отдела продаж. Рассмотрим новую модель
Теперь переменная x(t-1) интерпретируется по-прежнему, budget мы обозначаем как вклад текущего бюджета в приток новых клиентов, а e(t-1) заслуживает отдельного внимания.
Допустим, в прошлом периоде мы провели широкую рекламную кампанию, но по какой-то причине покупатели начали приходить только сейчас. Таким образом, в прошлом месяце наш фактический поток клиентов окажется ниже прогноза (думали, что придут сразу), а в текущем месяце мы получим поток "внеплановых клиентов". Коэффициент "-0,79" позволяет перенести 79 процентов отклонений прошлого периода (непришедшие клиенты) на текущий месяц. Такая модель позволяет предсказать аншлаг, имея в распоряжении лишь данные об отклонениях прошлого месяца.
Обозначается рассмотренная спецификация как ARMA(1,1), где (1,) - количество лагов переменной, а (,1) - количество лагов "ошибки". Очень высокие порядки (сумма первого и второго параметров модели) на практике не встречаются, как правило, в хорошей модели это не больше 4-х.
При применении модели надо помнить о границах применимости и предпосылках использования подхода. К примеру, нестационарность рассматриваемых переменных приведет к ошибочным результатам. В этой ситуации рекомендуется использование моделей корректировки отклонений (ECM)
ECM - модель корректировки отклонений
Возвратимся к предыдущему примеру. Последнее замечание указывает на некорректность оценивания в случае, когда переменные обнаруживают нестационарность. Нестационарность достаточно хорошо можно обнаружить, используя графики. Существуют также и строгие критерии. Если сам процесс нестационарен, а его приращения стационарны, то говорят, что он интегрируем первого порядка.
Итак, вооружившись необходимой теорией, перейдем к практическим задачам.
Допустим, мы рассматриваем, как влияет температура воздуха на спрос на наш товар (мороженное, купальники и т.п.).
Если мы определили, что спрос на продукцию и температура нестационарны
(это, скорее всего, именно так), а интегрируемы первого рода, то можно построить следующую модель:
Пусть
x - спрос на продукт
p - температура воздуха
тогда модель будет иметь вид
Оценим коэффициенты
Поясним, что обозначают полученные результаты:
- при прочих равных, вне зависимости от изменения температуры воздуха, прирост спроса летом составляет около 5 тыс. единиц в неделю;
- снижение температуры воздуха на градус, при прочих равных приведет к росту в продаж продукции на 7000 единиц;
- увеличение на 1000 разницы
приведет к снижению продаж на 700 на этой неделе.
Последнее выражение и называется, собственно, моделью корректировки отклонений. Ее суть заключается в том, что если модель хорошая, то превышение плана сегодня, при прочих равных, скорее всего, выльется в небольшое снижение факта завтра, и наоборот.