ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Вычисление пределов последовательностей и функций.
Пусть задана функция 
. Если при неограниченном приближении 
к 
соответствующие значения функции неограниченно близко приближаются к числу А, то говорят, что функция 
имеет предел и пишут 
. При вычислении предела надо в функцию подставить 
.
Пример. Вычислить предел функции.
1) 
2) 
Функция называется бесконечно большой (б.б.), если 
.
Функция называется бесконечно малой (б.м.), если 
.
Пусть 
, тогда 
и 
Эти правила для краткости можно записать следующим образом: 
Пример. Вычислить предел функции.
1) 
2) 
При вычислении пределов после подстановки может получиться:
. Эти выражения называются неопределенностью. Для каждого вида неопределенности существует свой способ «раскрытия».
Неопределенность вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности достаточно сравнить степени числителя и знаменателя по простому правилу:
Пример. Вычислить предел функции.
1) 
2) 
3) 
4) 
Неопределенность вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности надо сократить дробь.
В некоторых случаях надо использовать таблицу эквивалентностей.
Две бесконечно малые величины 
и 
называются эквивалентными, если 
. Обозначение 
Приведем основные эквивалентности.
При 
верно:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Пример. Вычислить предел функции.
1) 
2) 
3) 
Неопределенность вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности надо преобразовать выражение так, чтобы получилась неопределенность вида . Например, привести к общему знаменателю.
Пример. Вычислить предел функции.
Неопределенность вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности применяется второй замечательный предел:
Пример. Вычислить предел функции.
1) 
2) 
3) 
Задание 1. Вычислить пределы функций.
1) 
2) 
3) 
Задание 2. Вычислить предел функции.
Задание 3. Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
1) 
2) 
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1. Вычислить пределы.
Вариант 1. 1) 
2) 
3) 
Вариант 2. 1) 
2) 
3) 
Вариант 3. 1) 
2) 
3) 
Вариант 4. 1) 
2) 
3) 
Вариант 5. 1) 
2) 
3) 
Вариант 6. 1) 
2) 
3) 
Вариант 7. 1) 
2) 
3) 
Вариант 8. 1) 
2) 
3) 
Вариант 9. 1) 
2) 
3) 
Вариант 10. 1) 
2) 
3) 
Задание 2. Вычислить предел функции.
Вариант 1. 
Вариант 2. 
Вариант 3. 
Вариант 4. 
Вариант 5. 
Вариант 6. 
Вариант 7. 
Вариант 8. 
Вариант 9. 
Вариант 10. 
Задание 3. Вычислить пределы функций.
Вариант 1. 1) 
2) 
Вариант 2. 1) 
2) 
Вариант 3. 1) 
2) 
Вариант 4. 1) 
2) 
Вариант 5. 1) 
2) 
Вариант 6. 1) 
2) 
Вариант 7. 1) 
2) 
Вариант 8. 1) 
2) 
Вариант 9. 1) 
2) 
Вариант 10. 1) 
2) 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
- Односторонние пределы, непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция называется непрерывной, если 
. Это определение
означает, что функция непрерывна, если при малых изменениях соответствующие значения функции тоже мало изменяются. Те точки, где это условие не выполняется, называются точками разрыва.
При вычислении предела в точке a приближаться к этой точке по оси 
можно
слева и справа. Поэтому рассматривают односторонние пределы – «слева» и «справа».
Обозначают односторонние пределы следующим образом:
- предел «справа», 
- предел «слева».
Пример. Найти односторонние пределы функции 
в точке 
.
Пример. Найти односторонние пределы функции 
в точке 
.
Пример. Найти односторонние пределы функции 
в точке 
.
Точки, в которых нарушается непрерывность, называются точками разрыва. Их делят на три вида: устранимый разрыв, разрыв первого рода, разрыв второго рода.
1) Если 
, то 
- точка устранимого разрыва.
2) Если 
но 
,
то - точка разрыва первого рода
3) Если хотя бы один из односторонних пределов равен 
, то -точка разрыва второго рода
Если оба предела и значение функции совпадают, то есть 
, то в точке функция непрерывна.
Задание 1. Построить график заданной функции, определить характер точек разрыва, вычислить в этих точках пределы слева и справа.
Непрерывность этой функции может нарушаться в точках «стыка», то есть при 
. Найдем односторонние пределы в этих точках.
Значит, точка 
- разрыв первого рода.
Значит, точка 
- точка непрерывности.
Значит, точка 
- разрыв второго рода.
Строим график функции.
- Таблица основных производных, правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Пусть задана функция .Обозначим 
- малое приращение . Тогда производной 
называется 
Правила дифференцирования.
1). Производная от числа равна нулю: 
2). Постоянный множитель можно выносить за знак производной: 
3) Производная суммы равна сумме производных:
4) Правило для произведения функций: 
5) Правило для дроби: 
Таблица производных.
1) 
8) 
2) 
9) 
3) 
10) 
4) 
11) 
5) 
12) 
6) 
13) 
7) 
Найти производные функций.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Напомним, что 
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
