Тема: «Касательная к графику функции»
Цели: научиться находить угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке; составлять уравнения касательных к графику функции по заданным условиям.
Краткая теоретическая справка.
Строгое определение касательной:
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, - это прямая, проходящая через точку (xо; f (xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y =kx +b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
| k = tg α= f ′(xо). |
Здесь угол α – это угол между прямой y =kx +b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой.
Если угол наклона прямой y =kx +b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y =kx +b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x =c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке xо:
| y = f (xо) + f ′(xо) (x – xо) |
Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f ( x ):
| 1. Вычислить f (xо). 2. Вычислить производные f ′(x) и f ′(xо). 3. Внести найденные числа xо, f (xо), f ′(xо) в уравнение касательной и решить его. |
Порядок выполнения работы.
1. Внимательно изучите теоретическую справку по теме.
2. Решите следующие задания.
Пример1. Найдем уравнение касательной к графику функции f (x) = x 3 – 2 x 2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f (xо):
f (xо) = f (2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х 2 = 2 х, а х 3 = 3 х 2. Значит:
f ′(x) = 3 х 2 – 2 ∙ 2 х = 3 х 2 – 4 х.
Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):
f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f (xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f (xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
Ответ. у = 4х – 7.
Пример 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абcцисcой x0. Найдите значение производной функции в точке x0.
Значение производной функции y=f(x) в точке x0 равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами А и В - эти точки выделены на касательной:
Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC. Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Длины катетов считаем по количеству клеточек
Ответ. 0,25.
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
в точке с абсциссой х0=1.
Решение. Находим производную функции
Тогда при x0=1 значение производной равно
Отсюда получаем, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0=1 равен
Ответ. 1.
Пример 4. Прямая y= 8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2 +7x +7. Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, следовательно k=8. Угловой коэффициент касательной – это есть значение производной функции в точке x0. f ´(x0) = 2x0+7 =8, 2x0 = -1, x0 = -0,5.
Ответ. -0,5.
3. Выполните самостоятельную работу по вариантам.
Самостоятельная работа.
| Задание №1. Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0. | |||
| |||
| |||
| |||
| |||
| |||
| Задание №2. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке x0. | |||
| y=x3+4x2-11, x0=3 | |||
| y=6x-tgx, x0=0 | |||
| y=3e x +2,5x, x0=0 | |||
| y=2x+7lnx, x0=14 | |||
| |||
| Задание №3. Прямаяпараллельна касательной к графику функции y=f(x). Найдите абсциссу точки касания. | |||
 , 
| |||
 , 
| |||
 , 
| |||
 ,
| |||
 ,
|