Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Система оценивания экзаменационной работы по математике

(профильный уровень)

 

Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

 

Номер задания	Правильный ответ
	0,05
	-2,5
	-1

Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным; все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде:

,

или ; или .

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .Получим числа: .

Ответ: или ; .

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

 

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA ₁ и A ₁ C ₁ соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB ₁.

Решение. а) Пусть точка H — середина AC. Тогда

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A ₁ B ₁, кроме нее NP ⊥ A ₁ A. Следовательно, NP ⊥ ABB ₁. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB ₁.

 

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM ⊥ MP. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A ₁ B ₁ C ₁, то есть .Поэтому .Следовательно, .

Ответ: б) .

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.
Имеется верное доказательство пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б, возможно с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведенных выше
Максимальный балл

 

 

Решите неравенство

Решение.

Обозначим ,

тогда неравенство принимает вид .

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

,

Ответ:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

 

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 14.

Решение.

а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому

Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.

б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом , поэтому OB = OM = x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,

.

.По теореме Пифагора OB ² = BP ² + OP ², откуда . Получаем, что .

Поскольку прямые AD и MC параллельны,

 

 

Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б
Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при Обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведенных выше
Максимальный балл

Аркадий поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Аркадий ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

Пусть Аркадий ежегодно вносил на счет x тыс. руб.

К концу первого года хранения размер вклада стал 3600 · 1,1 = 3960 тыс. руб.

Аркадий дополнительно внес x р. Размер вклада стал 3960 + x тыс. руб.

К концу второго года хранения размер вклада стал (3960 + x) · 1,1 = 4356 + 1,1 x тыс. руб.

Аркадий вновь сделал дополнительный взнос x тыс. руб.

Размер вклада стал 4356 + 1,1 x + x = 4356 + 2,1 x тыс. руб.

К концу года были начислены проценты на сумму 4356 + 2,1 x тыс. руб.

Размер вклада стал (4356 + 2,1 x) · 1,1 = 4791,6 + 2,31 x тыс. руб., который равен 3600 · 1,485 =5346 тыс. руб.

Таким образом, составим и решим уравнение: 4791,6 + 2,31 x = 5346, 2,31 x = 554,4, x = 240.

Ответ: 240 тыс. рублей.

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: - неверный ответ из-за вычислительной ошибки; - верный ответ, но решение недостаточно обосновано
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведенных выше
Максимальный балл

 

 

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных решения.

 

 

Решение.

Заметим, что

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения . Получаем a =0 или a =3.

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения .Получаем a =0 или a =-5

Ровно два решения исходное уравнение имеет при .

 

Ответ: .

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все значения a, но ответ содержит лишнее значение или решение недостаточно обосновано
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
Задача верно сведена к исследованию возможного значения корней уравнения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

 

 

Все члены возрастающих арифметических прогрессий и являются натуральными числами.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых .

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

в)Какое наибольшее значение может принимать произведение , если ?

 

Решение.

 

а) Подходящим примером являются прогрессии 2, 3, 4,... и 2, 3, 4,... Для этих прогрессий имеем

б) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий и соответственно.

Тогда и

Если то

Получаем противоречие, ведь по условию и .

 

в) По условию и В ходе решения пункта б мы получили, что Значит,

, то есть .

Покажем, что случай возможен. Это равенство выполняется, например, для прогрессий 3, 4, 5, 6,... и 16, 17, 18, 19,... Для них и .

Ответ: а) Например, 2, 3, 4,... и 2, 3, 4,...; б) нет; в) 68.

 

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение пункта а; – обоснованное решение пункта б; – искомая оценка в пункте в; – пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл