| §1 Выборка. Статистический ряд. Эмпирический закон распределения. Полигон и гистограмма | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выборочной совокупностью(выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.
Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.
Способы отбора выборки:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части:
а) простой случайный бесповторный;
б) простой случайный повторный.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (если объем генеральной совокупности слишком большой):
а) типический отбор. Объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из ее «типичных» частей. Например, цех из тридцати станков производит одну и ту же деталь. Тогда отбор делается по одной или по две детали с каждого станка в случайные моменты времени;
б) механический отбор. Например, если нужно выбрать 5% деталей, то выбирают не случайно, а каждую двадцатую деталь;
в) серийный отбор. Объекты выбирают не по одному, а сериями.
Итак, пусть из генеральной совокупности значений некоторого количественного признака произведена выборка объема N:
 .
Таблица вида
Таблица 1
называется простым статистическим рядом, являющимся первичной формой представления статистического материала. Из данных таблицы 1 находят Размах выборки – это длина основного интервала Затем по формуле
где
Далее находятся частоты Результаты проведенных расчетов сводятся в таблицы: Таблица 2
Таблица 3
Далее находятся середины подынтервалов:
и после этого составляется еще одна таблица (таблица 4), которая называется статистическим рядом распределения. Статистический ряд распределения является оценкой теоретического ряда распределения и сходится к нему по вероятности. Поскольку ряд распределения является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины, то мы получили эмпирический закон распределения исследуемой дискретной случайной величины. Таблица 4
Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные подынтервалы длины Для построения полигона относительных частот используются данные таблицы 4. В декартовой системе координат на оси Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки | Задача.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=70, полигон частот которой имеет вид
Тогда число вариант xi=1 в выборке равно…
Варианты ответов: 1) 8 2) 6 3) 7 4) 70
Решение.
По определению объем выборки есть сумма частот всех вариант выборки. Тогда n1+10+20+33=70, следовательно n1=7.
Ответ. №3.
Задача.
Выборка задана в виде гистограммы относительных частот. Найти относительную частоту  .
Варианты ответов: Ответы: 1). 0,19 2). 0,18
3). нет правильного ответа 4). 0,2 5). 0,17
Решение. Как известно, площадь гистограммы относительных частот должна равняться 1. Поэтому Ответ. №1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| §2 Статистические оценки генеральных параметров. Точечные и интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть  - некоторый параметр генеральной совокупности, который невозможно вычислить. Но знать его значение (хотя бы приближенное, оценочное) надо. Поэтому по выборочным данным производят расчет статистических оценок данного генерального параметра.
Оценки параметров подразделяются на точечные и интервальные.
Точечнойназывается статистическая оценка генерального параметра , определяемая одним числом. Интервальной называется статистическая оценка генерального параметра , которая определяется двумя числами  и  - концами интервала, покрывающего оцениваемый генеральный параметр .
Несмещеннойназывают такую точечную оценку  , математическое ожидание которой равно оцениваемому генеральному параметру при любом объеме выборки, то есть
 . (4)
Если равенство (4) нарушается, то в этом случае оценки  называется смещенной.
Эффективнойназывается точечная оценка , которая (при заданном) объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию, то есть
 . (4а)
Состоятельной называется точечная оценка , которая (с увеличением объема выборки) стремится по вероятности к оцениваемому параметру  , то есть для любого достаточно малого 
 . (4б)
Несмещенной оценкой генеральной средней (генерального математического ожидания  ) служит выборочная средняя (выборочное математическое ожидание):
 , (5)
где  - варианты и их относительные частоты. Кроме того,  является состоятельной оценкой. Если случайная величина  подчинена нормальному закону распределения, то является и эффективной оценкой.
Смещенной оценкой генеральной дисперсии  служит выборочная дисперсия:
 , (6)
где - рассчитывается по формуле (5),  - данные из таблицы 4.
Иногда удобнее пользоваться другой формулой для вычисления выборочной дисперсии:
 . (6a)
Замечание. Поскольку  является смещенной оценкой, то ее «исправляют» следующим образом:
 . (7)
Полученная оценка  - это состоятельная несмещенная выборочная дисперсия, а  - выборочное среднее квадратичное отклонение.
При выборке малого объема  точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого генерального параметра, то есть приводит к грубым ошибкам. Поэтому при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
Пусть найденная (по данным выборки) статистическая оценка является оценкой неизвестного генерального параметра . Ясно, что тем точнее определяет , чем меньше значение разности  . То есть при   чем меньше  , тем оценка  точнее. Значит, положительное число  характеризует точность оценки.
Надежностью(доверительной вероятностью) оценки называется вероятность  , с которой осуществляется событие  , то есть
 . (8)
Обычно надежность оценки (доверительная вероятность ) задается. Причем в качестве берут число, близкое к единице (0,95; 0,99; 0,999).
Доверительнымназывается интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый генеральный параметр. В соотношении (8), если раскрыть модуль, получается  или  .
Тогда интервал  и есть доверительный интервал. Из общих соображений ясно, что длина доверительного интервала будет зависеть от объема выборки  и доверительной вероятности .
Для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении  служит доверительный интервал:
 , (9)
где  - точность оценки; - объем выборки;  - такое значение аргумента функции Лапласа  , при котором  .
Для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении (при объеме выборки  ) служит доверительный интервал:
 , (10)
где  находим по таблице по заданным N и .
Для оценки среднего квадратического отклонения  нормально распределенной генеральной совокупности с доверительной вероятностью служат доверительные интервалы:
 (при  );
 (при  ), (11)
где q – находим по таблице при заданных N и  .
|
Задача.
Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
Варианты ответов: 1) (8, 5; 11,5) 2) (8,6; 9,6)
3) (10; 10,9) 4) (8,4; 10)
Решение.
Согласно определения, интервальная оценка есть интервал, содержащий оцениваемый параметр. Данному утверждению соответствует лишь ответ №1.
Ответ. №1.
Задача.
Дана выборка объема n. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее  …
Варианты ответов: 1) увеличится в 25 раз 2) уменьшится в 5 раз
3) не изменится 4) увеличится в 5 раз
Решение.
Выборочная средняя:
 .
Поэтому, если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее 
 ,
т.е увеличится в 5 раз.
Ответ. №4.
Задача. Для выборки объема  вычислена выборочная дисперсия  . Тогда исправленная дисперсия  для этой выборки равна …
Варианты ответов: 1) 324 2) 200 3) 162 4) 400
Решение.
Поскольку  является смещенной оценкой, то ее «исправляют» следующим образом:  . Тогда  .
Ответ. №2.
Задача.
В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 13, 15. тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна …
Варианты ответов: 1) 4 2) 3 3) 8 4) 0
Решение.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания  ) служит выборочная средняя:
 .
Смещенной оценкой генеральной дисперсии  служит выборочная дисперсия:
 ,
Замечание. Поскольку является смещенной оценкой, то ее «исправляют» следующим образом:
 .
Полученная оценка  это несмещенная дисперсия, а  выборочное среднее квадратическое отклонение.
Таким образом,
 ,
Ответ. №1.
Задача.
Мода вариационного ряда 1, 4, 4, 5, 6, 8, 9 равна...
Варианты ответов: 1) 5 2) 1 3) 9 4) 4
Решение.
По определению, мода есть варианта имеющая наибольшую частоту. В данном случае это есть варианта 4, т.к. она повторяется два раза, а все остальные - лишь по 1 разу.
Ответ. №4.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| §3 Проверка статистической гипотезы о законе распределения генеральной совокупности | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Статистической гипотезой  называется любое предположение относительно закона распределения исследуемой случайной величины .
Гипотезы бывают простые и сложные. Простая гипотеза полностью определяет закон распределения величины в отличие от сложной.
Гипотезы бывают параметрическими и непараметрическими. В первом случае мы имеем предположение о параметрах распределения при известном законе, а во втором – о самом виде закона распределения.
Наряду с выдвинутой гипотезой  рассматривают противоречащую ей гипотезу  . Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей гипотеза .
Критерием проверки статистической гипотезы называется некоторое правило, позволяющее принять ее или отвергнуть. Причем критерии строятся с помощью случайной величины  (часто именно ее называют критерием), для которой известно распределение. Наблюдаемым значением критерия  называют значение критерия, вычисленное по данным выборки.
В случае проверки гипотез возможны ошибки:
Ошибка 1-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода  называется уровнем значимости критерия, по которому производится проверка.
Ошибка 2-го рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Если  - вероятность ошибки второго рода, то величина  называется мощностью критерия.
Параметрические гипотезы проверяются с помощью критериев значимости, а непараметрические – с помощью критериев согласия.
Критическойобластью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Если уровень значимости уже выбран и задан объем выборки, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования должно обеспечить минимальную ошибку второго рода, что более желательно.
Основной принцип проверки статистических гипотез: если  принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если же принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
| Пример 1. Гипотеза о том, что математическое ожидание нормальной величины равно при условии, что дисперсия известна, является простой параметрической. Если же дисперсия неизвестна, то гипотеза будет сложной параметрической.
Пример 2. Гипотеза о том, что случайная величина распределена по нормальному (или по какому-то другому) закону, является сложной непараметрической.
Задача.
Если основная гипотеза имеет вид H0: a=20, то конкурирующей может быть гипотеза …
Варианты ответов: 1) H1: a³20 2) H1: a³10
3) H1: a>20 4) H1: a£20
Решение.
Конкурирующая гипотеза должна противоречитьвыдвинутой, поэтому верный ответ №3.
Ответ. №3.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| §4 Статистическая и корреляционная зависимости. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Две случайные величины могут быть связаны между собой функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.
Статистическойназывают зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.Значит, корреляционная зависимость есть частный случай статистической зависимости.
Корреляционной зависимостью  от называют функциональную зависимость условной средней  от :
 . (12)
Уравнение (1) называется уравнением регрессии на ; функция  называется регрессией на ; график функции  - линией регрессии на .
Корреляционной зависимостью от называется функциональная зависимость  от :
 . (13)
Уравнение (13) называется уравнением регрессии на ; функция  называется регрессией на ; график функции - линией регрессии на .
Наиболее простой и важный случай корреляционной зависимости - линейная регрессия. В этом случае теоретическое уравнение линейной регрессии на (формула (12) имеет вид
 . (14)
Коэффициент  в уравнении (14) называют коэффициентом регрессии на и обозначают  .
Уравнение линейной регрессии на  . (15)
Коэффициент  называют коэффициентом регрессии на и обозначают  .
В случае линейной регрессии задача определения тесноты связи сводится к вычислению эмпирического (выборочного) коэффициента корреляции, который можно вычислить по одной из формул:
 или  , (16)
где  - значения средних квадратических отклонений.
Свойства выборочного коэффициента корреляции
1.  или  .
2. Если  , тогда и не связаны линейной корреляционной зависимостью (но могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью).
3. С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при  переходит в линейную функциональную зависимость.
4. Если   , тогда и связаны прямой (обратной) линейной функциональной зависимостью.
|
Задача.
Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид  . Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …
Варианты ответов: 1) 0,6 2) -0,6 3) -3 4) -2
Решение.
По свойству 1, оставляем как возможные, ответы № 1, 2. Т.к. по условию уравнение парной регрессии имеет вид , т.е. с ростом x возрастает в среднем и y, то rB>0, т.е. выбираем ответ № 1.
Ответ. №1.
|
и 
, соответственно наименьшее и наибольшее значения выборки. Затем данные таблицы 1 называемые вариантами, располагают в порядке возрастания. Тогда выборка 
, в который попадают все значения выборки. Вычисляется размах выборки следующим образом: 
.
, (1)
- целая часть числа 
, определяется число 
. Данное число задает количество подынтервалов (классов), на которые разбиваем основной интервал. Длины h подынтервалов и их границы 
вычисляются по формулам 
, (2)
; 
; …; 
; …; 
. (3)
и относительные частоты 
попадания значений выборки 
-й подынтервал. Причем для частот должно выполняться равенство 
, а для относительных частот соответственно 
.
; 
; …; 
, а высоты равны числам 
(плотности вероятностей) 
. Аналогичным образом, по данным таблицы 2 строится гистограмма частот.
находятся 
. По оси 
откладываются значения, соответствующие относительным частотам 
.
; 
; …; 
. Полигон относительных частот есть визуальное представление эмпирического закона распределения выборки.