ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Лабораторная работа № 1

Цель работы: ознакомиться с основными понятиями математической статистики и методикой проведения первичного исследования статистических данных.

Задание: При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, характеризующей время установки окон ПВХ, час. Произвести первичную обработку полученных опытных данных с целью изучения свойств случайной величины Х.

 

1) Составим расчетную таблицу, в которой запишем вариационный ряд (элементы выборки в порядке неубывания признака) и произведем расчеты, необходимые для вычисления числовых характеристик.

 

№ п/п	Выборка, час.	Вариационный ряд, час., х i
	4,22	3,987	-0,193	0,037249	-0,0071891	0,00138749
	4,181	4,01	-0,17	0,0289	-0,0049130	0,00083521
	4,162	4,07	-0,11	0,0121	-0,0013310	0,00014641
	4,2	4,09	-0,09	0,0081	-0,0007290	0,00006561
	4,244	4,09	-0,09	0,0081	-0,0007290	0,00006561
	3,987	4,1	-0,08	0,0064	-0,0005120	0,00004096
	4,156	4,128	-0,052	0,002704	-0,0001406	0,00000731
	4,25	4,136	-0,044	0,001936	-0,0000852	0,00000375
	4,2	4,137	-0,043	0,001849	-0,0000795	0,00000342
	4,07	4,137	-0,043	0,001849	-0,0000795	0,00000342
	4,143	4,143	-0,037	0,001369	-0,0000507	0,00000187
	4,248	4,15	-0,03	0,0009	-0,0000270	0,00000081
	4,156	4,15	-0,03	0,0009	-0,0000270	0,00000081
	4,128	4,156	-0,024	0,000576	-0,0000138	0,00000033
	4,214	4,156	-0,024	0,000576	-0,0000138	0,00000033
	4,15	4,16	-0,02	0,0004	-0,0000080	0,00000016
	4,19	4,162	-0,018	0,000324	-0,0000058	0,00000010
	4,2	4,162	-0,018	0,000324	-0,0000058	0,00000010
	4,22	4,168	-0,012	0,000144	-0,0000017	0,00000002
	4,162	4,174	-0,006	0,000036	-0,0000002	0,00000000
	4,09	4,18			0,0000000	0,00000000
	4,01	4,18			0,0000000	0,00000000
	4,19	4,181	0,001	0,0000010	0,0000000	0,00000000
	4,18	4,19	0,01	0,0001	0,0000010	0,00000001
	4,265	4,19	0,01	0,0001	0,0000010	0,00000001
	4,136	4,19	0,01	0,0001	0,0000010	0,00000001
	4,174	4,19	0,01	0,0001	0,0000010	0,00000001
	4,2	4,2	0,02	0,0004	0,0000080	0,00000016
	4,24	4,2	0,02	0,0004	0,0000080	0,00000016
	4,238	4,2	0,02	0,0004	0,0000080	0,00000016
	4,2	4,2	0,02	0,0004	0,0000080	0,00000016
	4,16	4,2	0,02	0,0004	0,0000080	0,00000016
	4,2	4,2	0,02	0,0004	0,0000080	0,00000016
	4,231	4,21	0,03	0,0009	0,0000270	0,00000081
	4,19	4,214	0,034	0,001156	0,0000393	0,00000134
	4,294	4,214	0,034	0,001156	0,0000393	0,00000134
	4,1	4,22	0,04	0,0016	0,0000640	0,00000256
	4,15	4,22	0,04	0,0016	0,0000640	0,00000256
	4,31	4,22	0,04	0,0016	0,0000640	0,00000256
	4,21	4,231	0,051	0,002601	0,0001327	0,00000677
	4,19	4,233	0,053	0,002809	0,0001489	0,00000789
	4,137	4,238	0,058	0,003364	0,0001951	0,00001132
	4,22	4,24	0,06	0,0036	0,0002160	0,00001296
	4,18	4,244	0,064	0,004096	0,0002621	0,00001678
	4,168	4,248	0,068	0,004624	0,0003144	0,00002138
	4,214	4,25	0,07	0,0049	0,0003430	0,00002401
	4,137	4,265	0,085	0,007225	0,0006141	0,00005220
	4,314	4,294	0,114	0,012996	0,0014815	0,00016890
	4,09	4,31	0,13	0,0169	0,0021970	0,00028561
	4,233	4,314	0,134	0,017956	0,0024061	0,00032242
ИТОГО	209,132	209,132		0,20662	-0,0072812	0,00350612

 

2) Найдем размах выборки

R=4,314-3,987=0,327час.

 

3) Вычислим длину интервала = = 0,05.

4) Границы интервалов:

= 3,987, = 3,987+0,05 = 4,04,

= 4,04+0,05 = 4,09, = 4,09+0,05 = 4,14,

= 4,14+0,05= 4,19, = 4,19+0,05 = 4,24,

= 4,24+0,05= 4,29, =4,29 +0,05 =4,34 .

5) Построим интервальный статистический ряд:

 

Границы интервалов	Частоты	Частости
[3,987;4,04]		2/50
(4,04;4,09]		3/50
(4,09;4,14]		5/50
(4,14;4,19]		17/50
(4,19;4,24]		16/50
(4,24;4,29]		4/50
(4,29;4,34]		3/50
Итого

 

 

6) Вычислим числовые характеристики.

В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюденных значений. Эта статистика называется выборочным средним.

По интервальному статистическому ряду определяется модальный интервал, в который попало наибольшее число элементов выборки, и в качестве точечной оценки моды может использоваться среднее значение этого интервала.

(час.)

 

Для определения выборочного значения медианы используется вариационный ряд. В нашем случае объем выборки = 50 – четное число, т.е. в качестве оценки медианы примем

= (час.)

 

В качестве оценки дисперсии используется статистика = (час.)

Оценка среднего квадратического отклонения

= (час.)

 

Оценка коэффициента вариации .

Оценка коэффициента асимметрии .

Оценка коэффициента эксцесса

 

7) Построим гистограмму частот

 

 

8) Построим интервальные оценки для неизвестных истинных значений и .

Объем выборки составил n = 50. Требуется с доверительной вероятностью определить интервальные оценки:

а) для среднего времени установки окон ПВХ;

б) для дисперсии времени установки окон ПВХ;

в) для среднего квадратического отклонения времени утановки окон ПВХ;

а) Среднее время установки окон ПВХ характеризуется генеральной средней a. Требуется найти интервальную оценку параметра a с доверительной вероятностью .

Применяем формулу

,

где , , , , значение определяем по таблицам распределения Стьюдента для и . . Подставим найденные значения в формулу:

 

(час.)

 

Таким образом, с вероятностью можно гарантировать, что среднее время установки окон ПВХ на участке находится в пределах: .

б) определим интервальную оценку для дисперсии времени установки окон ПВХ:

Интервальная оценка дисперсии

 

.

 

По таблице процентных точек -распределения найдем

;

 

.

 

Следовательно, .

Значит с доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение дисперсии будет находиться в интервале

в) С доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение среднего квадратического отклонения s будет находиться в интервале

 

 

7) Произведем первичную обработку полученной выборки с помощью ЭВМ:

 

Summary Statistics for Col_1 Count   Average 4,18264 Median 4,19 Mode 4,2 Variance 0,00420962 Standard deviation 0,0648816 Coeff. of variation 1,55121% Minimum 3,987 Maximum 4,314 Range 0,327 Skewness -0,693947 Kurtosis 1,48251 Sum 209,132
Confidence Intervals for Col_1 95,0% confidence interval for mean: 4,18264 +/- 0,0184392 [4,1642; 4,20108] 95,0% confidence interval for standard deviation: [0,0541978; 0,0808511]   The StatAdvisor This pane displays 95,0% confidence intervals for the mean and standard deviation of Col_1. The classical interpretation of these intervals is that, in repeated sampling, these intervals will contain the true mean or standard deviation of the population from which the data come 95,0% of the time. In practical terms, we can state with 95,0% confidence that the true mean Col_1 is somewhere between 4,1642 and 4,20108, while the true standard deviation is somewhere between 0,0541978 and 0,0808511.

Вывод. В результате исследования выборки значений непрерывной случайной величины, характеризующей время установки окон ПВХ, получили следующие результаты, час.: минимальное время установки 3,987, максимальное-4,314,среднее время установки-4,18,наиболее вероятное время установки-4,165, средневероятное время установки-4,19, среднеквадратическое отклонение времени установки от среднего значения сосотавило-0,0649. Оценка коэффициента вариации составила 1,55%, что указывает на небольшую колеблемость признака относительно среднего значения, оценка коэффициента асимметрии составила - 0,543, оценка коэффициента эксцесса составила - 1,03. С доверительной вероятностью Р=0,95 можно гарантировать, что среднее время установки окон ПВХ находится в пределах: {4,162<a<4,199} час., истинное значение дисперсии будет находиться в интервале 0,00347 < σ² < 0,00842, истинное значение среднего квадратического отклонения s будет находиться в интервале 0,0054 < σ < 0,0130 час.