Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение профессионального образования
Ульяновский государственный технический университет
Расчетно-графические работы по прикладной механике
Методические указания и задания
Ульяновск 2008
УДК 621.01
Расчетно-графические работы по прикладной механике: Методические указания и задания /Сост. Р. М. Садриев, В.И.Тарханов.-Ульяновск,2008.-36 с.
Настоящие методические указания составлены в соответствии с программой по прикладной механике УМУ-72/1,утвержденной Учебно-методическим управлением по высшему образование 23.04.76 г. и предназначены для студентов специальностей 0303 и 0628 энергетического и вечернего факультетов. Изложена методика выполнения расчетно-графических работ по разделу "Сопротивление материалов", которая иллюстрируется числовыми примерами.
Ил.11. Табл. 14. Библиогр.: 3 назв.,
Рецензент канд. техн. наук. доцент
Одобрено секцией методических
пособий научно-методического
Совета института
Ульяновский государственный технический университет, 2008
- ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Задание на расчетно-графические работы с указанием их объёма и сроков выполнения выдается студентам на первом занятии.
Выполнение расчетно-графических работ способствует закреплению и углублению знаний, полученных на лекциях и практических занятиях, а также развитию навыков решения задач сопротивления материалов. Приведенные примеры способствуют освоению методов и приёмов расчета типичных, наиболее часто встречающихся прикладных задач. При этом необходимо использовать одну из книг,приведенных в списке литературы.
Расчетно-графические работы выполняют на сброшюрованных листах белой бумаги формата А4 (297х210 мм). Чертежи, схемы и графики наносят карандашом с применением чертежных инструментов, расчеты и пояснения выполняют четким почерком, черными чернилами или пастой. Высота букв и цифр должна быть не менее 2,5 мм. Не допускается применять сокращения слов, кроме установленных правилами русской орфографии. При выполнении расчета сначала записывают формулу в буквенных обозначениях. Далее, вместо символов в формулу подставляют их численные значения в согласованных размерностях и в той последовательности, в которой они приведены в формуле. Затем записывают результаты вычислений с указанием размерности. Не допускается при
вычислении сокращать подставленные в формулу численные значения. Иллюстрации, сопровождающие расчеты, располагают в тексте. Расчётную схему со всеми относящимися к ней эпюрами размещают на отдельном листе с соблюдением масштабов, изображаемых физических величин.
В конце расчетно-графической работы приводят список использованной литературы.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
Задача 1
Для определения продольных сил применим метод сечений для каждого участка стержня, при этом неизвестную внутреннюю силу N предварительно направим от сечения, предполагая ее положительной. При построении эпюры нормальных напряжений 
величину напряжения подсчитаем для всех участков стержня. Продольное перемещение 
сечения находим как алгебраическую сумму удлинений 
участков стержня между заделкой и рассматриваемым сечением, суммирование ведём по всем участкам.
Пример 1
Ступенчатый стержень нагружен силами, направленными вдоль его оси. Материал стержня – сталь с модулем продольной упругости Е = 
МПа. Длины участков
а = 0,4 м, b = 0,5 м, c = 0,6 м. Площади поперечного сечения 
. Силы F1 = 60 кН, F2 = 80 кН, F3 = 60 кН.
Построить эпюры продольных сил N, нормаль напряжений и
продольных перемещений сечений стержня.
РЕШЕНИЕ
1. Продольные силы:
на участке а: 
на участке b: 
на участке c:
- Нормальные напряжения:
на участке a: 
на участке b: 
на участке c: 
- Продольные перемещения сечений стержня:
на расстоянии с от заделки:
на расстоянии (c+b) от заделки: 
на расстоянии (c+b+a) от заделки:
Задача 2
Стержневая система один раз статически неопределима, так как для нахождения двух неизвестных сил в стержнях можно составить лишь одно уравнение равновесия жёсткого бруса. Необходимо составить дополнительно одно уравнение перемещений. Для этого сопоставим положение жёсткого бруса до и после нагружения. Непосредственно из чертежа установим зависимость между удлинениями стержней.
Пример 2
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору О и поддерживается двумя стержнями, прикрепленными шарнирно. Длины участка бруса
a = 2 м, b = 1,5 м, c = 1 м. Длины стержней l1 = 2 м,12 = 1,2 м. Площади поперечного сечения стержней А1 = 100 мм2, А2 = 60 мм2. Определить продольные силы и нормальные напряжения в стержнях от действия на брус силы F = 8 кН без учета веса.
РЕШЕНИЕ
1. Разрезаем стержни ивводим продольные силы N1 и
N2, направляя их от сечений. Приравнивая нулю сумму моментов сил
относительно шарнира О, получаем
2. Под действием силы F брус поворачивается относительно шарнира О и стержни удлиняются на величину 
l1 и l2.Из подобия треугольников получаем соотношение:
,
откуда уравнение перемещений принимает вид
Подставляя значения
в уравнение перемещений, имеем
(2)
3. Продольные силы в стержнях находим из совместного решения уравнений (1) и (2). Из уравнений (2) получаем
и, подставляя N1 в уравнение (1), имеем
4. Нормальные напряжения в стержнях
Задача 3
При построении эпюры крутящих моментов Тк приметим метод сечений последовательно для всех участков вала, прикладывая неизвестный крутящий момент в положительном направлении. Диаметр вала определяем понаибольшему (абсолютному) значению крутящего момента. Угол поворота 
сечения определяем как алгебраическую сумму углов закручивания участков вала между заделка и рассматриваемым сечением, суммирование ведем поучасткам с постоянным крутящими моментами.
Пример 3
К стальному валу круглого сечения приложены крутящие момен
ты Т1 = 2 кН·м, Т2 = 3 кН·м, Т3 = 1 кН·м, Т4 = 1,5 кН·м. Длины
участков а = 1,2м, b = 1,3м, с = 1,4м, d = 0,8 м.
Модуль сдвига стали G = 8·104 МПа. Требуется:
1) построить, эпюру крутящих моментов Тк;
2) при значении допускаемого касательного напряжения [τ] = 85 МПа
определить диаметр вала D из расчета на прочность по наибольшего
крутящему моменту; округлить величину D до ближайшего большего
значения, оканчивающегося на 0 или 5 мм;
3
) построить эпюру углов поворота φ сечений вала относительно
заделки.
РЕШЕНИЕ
1. Крутящие моменты:
- на участке d
- на участке c
- на участке b
- на участке a
2. Диаметр вала из расчёта на прочность по наибольшему крутящему моменту Т=2 кН·м.
мм. Принимаем D = 50 мм.
3. Углы поворота сечений вала:
на растоянии a от заделки
на расстоянии (a+b) от заделки
на расстоянии (a+b+c) от заделки
на расстоянии (a+b+c+d) от заделки
Задача 4
Реакции опор определяем, приравнивая нулю сумму моментов всех
сил относительно каждой опоры. При правильном решении сумма всех сил
равна нулю. Поперечные силы и изгибающие моменты находим по методу
сечений с учетом правил знаков. Поперечная сила в сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа — сверху вниз, и отрицательной - в противоположном случае. Изгибающий момент в сечении балки считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от
сечения направлен по часовой стрелке, а справа - против часовой стрелки, и отрицательным - в противоположной случае.
Для проверки правильности эпюр используем закономерности: производная от поперечной силы представляет собой внешнюю распределенную загрузку q, а производная от изгибающего момента дает поперечную силу.-
Размеры указанных сечений определяем по наибольшему (абсолют-
ному) значению изгибающего момента, при этом размеры и характеристики двутаврового сечения выбираем из таблицы сортамента прокатной
стали (приложения в учебниках).
На основе сопоставления площадей поперечных сечений можно сделать выводы о рациональной форме сечения балки, выгодной с точки
зрения затрат материала.
Максимальные касательные напряжения для указанных сечений подсчитываем по формуле Журавского.
Пример 4
Балка с участками длиной а = 2,5 м, b = 2 м, с = 1,5 м нагружена распределённой нагрузкой q = 20 кН/м, сосредоточенной силой F = 30 кН и сосредоточенным изгибающим моментом М = 40 кН·м.
Требуется:
1) определить реакции опор и построить эпюры поперечных сил Q и
изгибающих моментов М;
2) при значении допускаемого нормального напряжения [σ] = 150 МПа по
максимальному изгибающему моменту определить размеры двутаврового
квадратного круглого сечений;
3) зачертить сечения c в одном масштабе;
4) сравнить площади сечений с наименьшей площадью;
5) определить максимальные касательные напряжения для трёх указанных сечений.
РЕШЕНИЕ
1. Реакции опор
2. Эпюра поперечных сил:
на участке c суммируем силы слева от сечения: Q1 = RA = 15 кН;
на участке b суммируем силы слева от сечения: Q2 = RA = 15 кН;
на участке a суммируем силы справа от сечения: 
3. Эпюра изгибающих моментов:
на участке c суммируем моменты сил слева от сечения
на участке b суммируем моменты сил слева от сечения
на участке a суммируем моменты сил справа от сечения
и результаты расчётов сводим в таблицу,
| z3 | 0,25 a | 0,5 a | 0,75 a | a | l | |
| M3 | 14,84 | 21,87 | 21,1 | 12,5 | 22,5 |
где l – координата z3 сечения, в котором Q=0 и, следовательно, производная от изгибающего момента равноа нулю 
4. Момент сопротивления при изгибе максимальным моментом М=22,5 кН·м.
По таблице сортамента выбираем двутаровое сечение №18а, у которого Wx = 159 см3, Jx =1430 см4, Sx* = 89,8 см3, А = 26,4 см2, h = 180 мм, b = 100 мм, d = 5,1 мм, t = 8,3 мм.
Сторона квадратного сечения
Диаметр круглого сечения
5. Сечение балки в масштабе 1:2
6. Площади сечений:
двутаврового (из таблицы сортамента) Адв = 2540 мм2;
квадратного Акв = h2 = 9409 мм2;
круглого 
наименьшая площадь у балки двутаврового сечения.
Отношение площадей поперечных сечений
7. Максимальные касательные напряжения от наибольшей поперечной силы Q = 30 кН в сечениях:
двутавровом 
квадратном 
круглом 
Задача 5
Реакции опоропределяем, приравнивая нулю сумму моментов всех сил в данной плоскости относительно каждой опоры. При правильном решении сумма проекций на плоскость сечения всех сил в каждой плоскости равна нулю. Изгибающие и крутящие моменты находим по методу сечений, учитывая правила знаков.
Пример 5
Вал нагружен в горизонтальной плоскости силами Ft = 6450 Н,
FM = 2750 Н, в вертикальной плоскости силами Fr = 2400 Н, Fa = 900 Н. Размеры l1 = 80 мм, l2 = 80 мм, l2 = 160 мм, d1 = 200 мм.
Требуется:
1) определить реакции опор и построить эпюры изгибающих моментов
М в горизонтальной и вертикальной плоскостях;
2) построить эпюру крутящих моментов Т.
РЕШЕНИЕ
1. Реакции опор в горизонтальной плоскости
2. Реакции опор в вертикальной плоскости
3. Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости:
на участке l3 в пределах изменения z1 от 0 до l3
на участке l2 в пределах изменения z2 от l3 до (l3+l2)
на участке l1 в пределах изменения z3 от 0 до l1 
4. Эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости:
на участке l3 
на участке l2 
на участке l1 
на границе участков l1 и l2 эпюра MY имеет скачок, равный сосредоточенному моменту Fd·d1/2.
5. Крутящий момент на участках l2 и l3 определяем из условия равновесия вала 
Задача 6
Расчетную схему балки располагаем в прямоугольной системе координат XYZ. Начало координат помещаем в заделке, ось Z направляем по оси балки, а ось Y - в плоскости изгиба балки. Составляем дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, после двукратного интегрирования, которого получаем уравнения для вычисления углов поворота θ=Y' и прогибов Y. Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления (граничных условий) балки.
Пример 6
Определить прогиб Y и угол поворота θ сечения конца консольной балки длиной l = 1 м круглого сечения диаметра d = 40 мм,
нагруженной распределённой нагрузкой q = 200 Н/м, сосредоточенной
силой F = 110 Н и изгибающим моментом М = 40 Н·м. Материал балки – сталь с модулем продольной упругости Е = 2·105 МПа.
РЕШЕНИЕ
1. Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки большой жест
кости имеет вид
где Y'' - кривизна оси балки в плоскости изгиба на расстоянии z от заделки;
MZ- изгибающий, момент на расстоянии Z от заделки;
Е - модуль продольной упругости материала балки;
JX - момент инерции сечения балки относительно оси перпендикулярной к плоскости изгиба.
2. Изгибающий момент в сечении zравен
следовательно, дифференциальное уравнение оси изогнутой балки принимает вид
(1)
3. Интегрируя уравнение (1), получаем
(2)
При z = 0 по условиям закрепления балки (жёсткая заделка) угол поворота сечения Y´ = 0, тогда С1 = 0.
4. Момент инерции круглого сечения балки
5. Угол поворота сечения на конце балки находим из уравнения (2) при z = l
6. Интегрируем уравнение (2)
(3)
При z = 0 имеем Y = 0, тогда С2 = 0.
7. Прогиб конца балки находим из уравнения (3) при z = l
3. ЗАДАНИЯ НА РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
Задача 1
Ступенчатый стержень нагружен силами, направленными вдоль его
оси. Материал стержня - сталь с модулем продольной упругости Е = 2·105 МПа. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ ипродольных перемещений δ сечений стержня.
Исходные данные приведены втабл.1.1 и1.2.
Таблица 1.1
Данные для стержней
| Варианты | Параметры | |||||||
| а | b | c | А1 | A2 | F1 | F2 | F3 | |
| м | см2 | кН | ||||||
| 0,2 | 0,3 | 0,4 | ||||||
| 0,4 | 0,3 | 0,5 | ||||||
| 0,3 | 0,4 | 0,5 | ||||||
| 0,5 | 0,4 | 0,4 | ||||||
| 0,6 | 0,4 | 0,3 | ||||||
| 0,7 | 0,3 | 0,4 | ||||||
| 0,2 | 0,5 | 0,2 | З0 | |||||
| 0,3 | 0,6 | 0,2 | ||||||
| 0,4 | 0,6 | 0,2 | ||||||
| 0,5 | 0,2 | 0,4 | ||||||
| 0,3 | 0,5 | 0,4 | ||||||
| 0,6 | 0,3 | 0,2 | ||||||
| 0,8 | 0,4 | 0,6 | ||||||
| 0,2 | 0,4 | 0,4 | ||||||
| 0,5 | 0,5 | 0,3 | ||||||
| 0,4 | 0,2 | 0,6 | ||||||
| 0,7 | 0,5 | 0,4 | ||||||
| 0,6 | 0,2 | 0,4 | ||||||
| 0,2 | 0,4 | 0,6 | ||||||
| 0,3 | 0,4 | 0,5 |
Таблица 1.2
Расчётные схемы стержней
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Продолжение табл. 1.2.
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Задача 2
Абсолютно жёсткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и поддерживается двумя стержнями, прикреплёнными шарнирно.
Определить продольные силы и нормальные напряжения в стержнях от
действия на брус силы Fбез учёта веса.
Исходные данные приведены в табл. 2.1 и 2.2
Таблица 2.1
Данные для расчёта стержней
| Варианты | Параметры | |||||||
| а | b | c | l1 | l2 | А1 | A2 | F | |
| м | мм2 | кН | ||||||
| 1,8 | 0,8 | 2,2 | 0,9 | |||||
| 1,6 | 1,2 | 2,4 | ||||||
| 1,9 | 1,5 | 1,8 | 0,8 | |||||
| 2,2 | 1,3 | 0,8 | ||||||
| 2,4 | 0,9 | 1,1 | 2,5 | |||||
| 1,7 | 0,7 | 0,8 | 1,5 | |||||
| 1,2 | 0,6 | 0,7 | ||||||
| 1,5 | 1,1 | 0,9 | 1,7 | 1,2 | ||||
| 1,6 | 0,8 | 2,3 | 1,1 | |||||
| 1,4 | 0,7 | 1,9 | ||||||
| 2,3 | 1,6 | 0,9 | ||||||
| 1,5 | 0,8 | 0,7 | 1,8 | |||||
| 2,4 | 1,1 | 1,1 | 2,2 | 1,5 | ||||
| 2,1 | 1,3 | 1,2 | 1,6 | 0,8 | ||||
| 1,6 | 1,2 | 0,6 | 2,1 | 1,2 | ||||
| 2,3 | 1,1 | 1,3 | 1,7 | 1,4 | ||||
| 1,8 | 0,8 | 2,3 | 1,5 | |||||
| 0,6 | 1,9 | 0,9 | ||||||
| 0,8 | 1,2 | 2,4 |
Таблица 2.2
Расчётные схемы стержней
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Продолжение табл. 2.2.
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Задача 3
К стальному валу круглого сечения приложены четыре крутящих момента. Модуль сдвига стали G = 8·104 МПа. Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов Тк;
2) при заданном значении допускаемого касательного напряжения [τ] определить диаметр вала D из расчета на прочность по наибольшему крутящему моменту; округлить величину D до ближайшего большего значения, оканчивающегося на 0 или 5 мм;
3) построить эпюру углов поворота φ сечений вала относительно заделки.
Исходные данные приведены в табл.3.1 и 3.2
Таблица 3.1
Данные для вала
| Варианты | Параметры | ||||||||
| a | b | c | d | T1 | T2 | T3 | T4 | [τ] | |
| м | кН·м | Мпа | |||||||
| 0,8 | 1,5 | 1,2 | 1,1 | 1,6 | 0,8 | ||||
| 0,8 | 1,2 | 1,5 | 1,6 | 0,8 | 1,4 | ||||
| 1,3 | 1,5 | 0,8 | 1,3 | 0,7 | 1,5 | 1,1 | |||
| 1,5 | 1,2 | 1,4 | 1,4 | 0,6 | 1,3 | ||||
| 1,5 | 1,8 | 1,6 | 1,8 | 1,3 | 0,6 | ||||
| 1,8 | 1,4 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 0,9 | 1,2 | |||
| 1,8 | 1,2 | 1,5 | 1,7 | 0,8 | 1,1 | 0,6 | |||
| 1,7 | 0,9 | 1,4 | 1,1 | 1,5 | 1,2 | 0,7 | 1,1 | ||
| 1,2 | 1,7 | 1,5 | 1,2 | 1,7 | 1,1 | 0,9 | |||
| 0,9 | 1,5 | 1,6 | 1,2 | 0,9 | 1,3 | 0,7 | |||
| 1,6 | 1,2 | 1,4 | 1,7 | 1,9 | 1,2 | 0,5 | 1,4 | ||
| 1,5 | 1,3 | 1,4 | 0,9 | 0,8 | 1,5 | 1,1 | |||
| 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,6 | 0,8 | 1,2 | 0,6 | |||
| 1,5 | 0,8 | 1,5 | 1,2 | ||||||
| 1,2 | 1,5 | 0,8 | 1,4 | 0,8 | 0,6 | ||||
| 1,6 | 1,2 | 1,4 | 1,9 | 0,9 | 0,5 | 1,4 | |||
| 0,9 | 1,2 | 1,3 | 1,7 | 0,9 | 1,5 | 0,7 | |||
| 1,5 | 0,6 | 1,5 | 1,7 | 1,2 | 1,1 | 1,4 | |||
| 0,4 | 0,8 | 0,6 | 1,2 | 0,5 | 1,3 | 0,7 | 0,9 | ||
| 0,6 | 0,8 | 0,4 | 0,9 | 0,7 | 0,9 | 0,5 | 1,3 |
Таблица 3.2
Расчётные схемы вала
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Продолжение табл. 3.2
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Задача 4
Балка нагружена распределённой нагрузкой q, сосредоточенной силой F и сосредоточенным изгибающим моментом М. Требуется:
1) определить реакции опор и построить эпюры поперечных сил Q и
изгибающих моментов М;
2) при заданном значении допускаемого нормального напряжения [σ] по максимальному изгибающему моменту определить размеры двутаврового, квадратного и круглого сечений;
3) начертить сечения в одном масштабе;
4) сравнить площади сечений с наименьшей площадью;
5) определить максимальные касательные напряжения для трех указанных сечений.
Исходные данные приведены в табл.4.1 и 4.2
Таблица 4.1
Данные для балок
| Варианты | Параметры | ||||||
| a | b | c | q | F | M | [σ] | |
| м | кН/м | кН | кН·м | МПа | |||
| 1,5 | |||||||
| 2,4 | 2,6 | ||||||
| 1,5 | |||||||
| 1,5 | |||||||
| 2,5 | |||||||
| 1,5 | |||||||
| 2,5 | 1,5 | ||||||
| 2,5 | 1,5 | ||||||
| 1,6 | 0,8 | ||||||
| 1,8 | 2,4 | ||||||
| 1,7 | 2,2 | ||||||
| 2,8 | 1,5 | ||||||
| 1,5 | 1,5 | ||||||
| 1,5 | 2,6 | 2,8 |
Таблица 4.2
Расчётная схема балки
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Продолжение табл. 4.2
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Задача 5
Вал нагружен силами в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Требуется:
1) определить реакции опор и построить эпюры изгибающих моментов М в
горизонтальной и вертикальной плоскостях;
2) построить эпюру крутящих моментов Т.
Исходные данные приведены в таблицах 5.1-5.3.
Таблица 5.1
Данные для расчётных схем 1-8
| Варианты | Параметры | |||||||
| l1 | l2 | l3 | d1 | Ft | Fr | Fα | Fm | |
| мм | Н | |||||||