Учебный модуль 6. Дифференциальные уравнения. Тема 12. Дифференциальные уравнения первого порядка.
ЛЕКЦИЯ 12. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Пусть x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция этой переменной. y¢, y¢¢,..., y(n) - производные неизвестной функции. Уравнение, связывающее независимую переменную х с функцией y (x) и ее производными до порядка n включительно, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
F (x, y, y¢, y¢¢,..., y(n)) = 0. (12.1)
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.
Дифференциальное уравнение n -го порядка может не содержать некоторые из величин x, y, y¢,..., y(n-1) или даже все эти величины, но оно обязательно содержит n-ю производную y(n).
Пример 1. y¢ + 2y = 0 - уравнение 1-го порядка, так как наивысший порядок производной равен единице.
Пример 2. y(4) - y¢ = 0 - уравнение 4-го порядка: входят производные 1-го и 4-го порядков, наивысший порядок производной равен 4.
Решение дифференциального уравнения - это функция y = y0(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество:
F (x, y0(x), y0¢,..., y0(n)(x)) º 0.
Пример 3. Пусть дано уравнение y¢¢ + y = 0. Проверим непосредственной подстановкой, что функция y = sinx является решением этого уравнения.
y¢= (sin x)¢ = cosx, y¢¢= (cosx)¢= - sinx.
Подставим в уравнение вместо y и y¢ функции sinx и - sinx:
- sin x + sin x º 0.
График решения y = y(x) называется интегральной кривой. Задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
Рассмотрим уравнение n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной:
y(n) = f (x, y, y¢,..., y(n-1)). (12.2)
Такая запись уравнения называется видом, разрешенным относительно старшей производной, а функцияf (x, y, y¢,..., y(n-1)) называется правой частью уравнения.
Предполагаем, что функция f определена, однозначна и непрерывна в некоторой области изменения своих аргументов. Задача нахождения решения y = y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям: при x = x0
y = y0, y¢= y0¢,..., y0(n-1) = yo(n-1), (12.3)
где x0, y0, y0¢,..., y0(n-1) суть заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.
Начальные условия можно записать и так:
Дадим определения общего и частного решений уравнения n -го порядка
y(n) = f(x, y, y¢,..., y(n-1)),
правая часть которого есть функция определенная и непрерывная в некоторой области G изменения переменных x, y, y¢,...,y(n-1). Функция
y = j(x,C1,C2,...,Cn), (12.4)
зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных C1, C2,..., Cn, называется общим решением уравнения(11.2) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:
1) функция (11.4) является решением уравнения (11.2) при любых значениях произвольных постоянных C1, C2,...,Cn;
2) каковы бы ни были начальные условия (12.3), существует единственный набор постоянных C10, C20,...,Cn0, такой, что функция y= j(x,C10, C20,..., Cn0) является решением уравнения (12.2) и удовлетворяет начальным условиям (12.3).
Чтобы найти решение уравнения (12.2) с начальными данными x0, y0, y0¢, y0(n-1) из области G, если известно общее решение (12.2) поступают следующим образом:
1) составляют систему уравнений
(12.5)
2) решая систему (12.5), находят C10, C20,..., Cn0;
3) подставляют найденные значения произвольных постоянных в общее решение(11.4) и получают искомое решение
y= j(x,C10, C20,..., Cn0),
которое является искомым единственным решением задачи.
Если общее решение уравнения (12.2) задано в неявном виде
Ф(x, y,C1, C2,..., Cn) = 0 (12.6)
то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Всякое решение, получаемое из общего решения (11.4) при конкретных значениях постоянных C1 = C10, C2 = C20,..., Cn = Cn0, называется частным решением уравнения(12.2).
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и первая производная этой функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
F (x, y, y¢) = 0. (12.7)
Здесь F - заданная функция трех аргументов. Она может не зависеть от x или y (или от обеих переменных), но должна содержать y¢.Если уравнение (12.7) разрешить относительно y¢, то получим разрешенный вид
y¢ = f(x,y), (12.8)
где f - заданная функция от x и y или правая часть уравнения (12.8). В дальнейшем мы будем рассматривать только уравнения в разрешенном виде. Решение дифференциального уравнения (12.8) - это функция y = y0(x), которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:
y0¢(x) º f(x,y0).
Пример 1. Дано уравнение y¢ + y ctg x - 2cos x = 0.
Покажем, что функция y = sin x является его решением. Для этого подставим в данное уравнение вместо y и y¢ функции sinx и (sinx)¢ = cosx. Имеем:
cosx + sinx ctgx - 2cosx = cosx + cosx - 2cosx º 0.
Уравнение обратилось в тождество.
Функция
y = j (x,C) (12.9)
называется общим решением уравнения (12.8), если она является решением этого уравнения при всех значениях произвольной постоянной C.
Если общее решение задано в неявном виде j(x, y, C) = 0, то оно называется общим интегралом. Частное решение уравнения (12.8) - это решение, которое получается из общего (12.9) при конкретном значении C.
Для дифференциального уравнения (12.8) задача Коши формулируется так: среди всех решений уравнения найти решение y = y(x), удовлетворяющее условию
(12.9)
где x0, y0 - заданные числа.
Условие (12.9) называется начальным условием, а числа x0, y0 - начальными значениями.