Основные понятия теории вероятности
Теория вероятности – это раздел математики, который изучает события, частоту их появления и законы, которые управляют событиями.
Всякое действие, которое можно повторять неограниченное число раз называется опытом или испытанием.
Пример опыта:
- Бросание одной или нескольких монет
- Сдача экзамена
- Игра в лотерею
- Бросание игральной кости
- Выбор президента страны и т.д.
Всякий конечный результат опыта называется случайным событием. Случайное событие в результате опыта может произойти и не произойти.
Пример:
Опыт: бросание монеты.
Возможны всего два случайных события:
А = «выпал орел»
В = «выпала решка»
Виды событий
Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно произойдет.
Пример: при бросании игральной кости событие А= «Выпадет меньше 7 очков» является достоверным.
Событие называется невозможным, если заранее известно, что в результате опыта оно никогда не произойдет.
Пример: при бросании игральной кости событие В= «Выпадет ровно 7 очков» является невозможным.
Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает осуществление другого. В противном случае события называются совместными.
Пример: при бросании игральной кости:
А= «Выпадет четное количество очков»
В= «выпадет нечетное количество очков»
С= «выпадет меньше трех очков»
События А и В являются несовместными, так как они никогда одновременно не наступят. События А и С будут совместными, так как, если выпадет 2 очка, то они наступят одновременно.
Два события называются равновозможными, если условия опыта обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из их.
Пример: вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт:
А= «Вытащили карту красной масти»
В= «Вытащили карту черной масти»
С= «Вытащили туза»
События А и В являются равновозможными, так как количество черных карт и красных в колоде одинаковое. События А и С будут неравновозможными, так как, число тузов намного меньше числа красных карт в колоде, следовательно у события С меньше шансов для наступления.
Два события называются противоположными, если в результате опыта они являются единственными возможными несовместными исходами опыта.
Пример:
А= «Стрелок попал в цель»
= «Стрелок промахнулся»
Классическое определение вероятности события
Событие называется благоприятным для события А, если осуществление этого события влечет за собой осуществление события А.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.
, где:
– число всех возможных исходов опыта
– число благоприятных исходов для события А
Так как 
для любых событий, то 
Вероятность противоположного события находится по формуле: 
Пример 1:
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 4 красных, 9 желтых и 2 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Решение:
А= «К заказчице приедет желтая машина»
Всего имеется =4+9+2=15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 
, то есть 0,6.
Пример 2:
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Решение:
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 
, то есть 0,92..
Пример 3:
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Решение:
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 
(поскольку из Китая — 5 спортсменок). Ответ:0,25.
Пример 4:
Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
Решение:
Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 
.
Пример 5:
Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Решение:
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел (О) и решка (Р)
Если монету бросаем три раза, то возможны исходы:
ООО, ООР, ОРО, РОО, РРО, РОР, ОРР, РРР
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми. Следовательно, вероятность равна 
Ответ: 0,375.
Пример 6:
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6*6=36.
А теперь — благоприятные исходы: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. То есть таких исходов всего пять.
Вероятность выпадения восьми очков равна 
.
Пример 7:
Разыгрываются 8 путевок на Черное море и 5 путевок на Средиземное море. Найти вероятность того, что два данных участника розыгрыша получат путевки а) все на Черное море б) все на Средиземное море
Решение:
Всего путевок 8+5 = 13
Опыт: распределение трех путевок
Пусть событие А=«Оба участника поедут на Черное море»,
событие В=«Оба участника поедут на Средиземное море»
а)
Так как два путевки выбирают из всех путевок, то
, где 
Так как участники должны получить путевки на Черное море, то выбирать 2 путевки нужно из 8:
б) 
Так как две путевки выбирают из всех путевок, то
, где
Так как участники должны получить путевки на Средиземное море, то выбирать 2 путевки нужно из 5:
Задачи для самостоятельного решения:
1. В урне имеются 12 черных и 7 белых шаров. Наудачу извлекают один шар. Найти вероятность, что извлекли черный шар. Результат округлить до тысячных
2. В магазин поступило 60 холодильников, три из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?
3. Из цифр 1, 2, 7, 6 составляют двухзначное число, так чтобы цифры не повторялись. Найти вероятность, что получится четное число.
4. На полке лежат 14 учебников, из них 5 – по математике. Студент берет наудачу 3 учебника. Какова вероятность того, что все взятые учебники – по математике? Ответ округлить до тысячных.
Ответы:
1) 0,632; 2) 0,95; 3) 0,5; 4) 0,027
Домашнее задание:
1. В магазин поступили футболки: 60 штук – производства Ярославской фабрики; 25 – Рижской и 15 – Ивановской фабрики. Какова вероятность того, что купленная наугад футболка изготовлена: а) на Ярославской фабрике; б) на Ивановской фабрике?
2. В ящике находятся 100 катушек разных цветов: белых катушек – 50 штук; красных – 20 штук; зеленых – 20 штук, остальные – синие. Какова вероятность того, что взятая наугад катушка окажется зеленой или синей?
3. Контролер ОТК, проверив 20 пальто, установил, что 16 из них первого сорта, а остальные – второго сорта. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу из этой партии 3 пальто все будут первого сорта.
4. В урне 4 синих, 7 черных шаров. Случайным образом из урны извлекают сразу 2 шара. Какова вероятность того, что: а) оба шара – синие; б) оба шара – черные; в) шары разного цвета?