МФ и ТД
Динамика, механическое равновесие
Задание 30 № 7943
В горизонтально расположенной трубке с одним закрытым концом с помощью столбика ртути заперт воздух при температуре 27 °С. Затем трубку переворачивают вертикально открытым концом вверх и нагревают на 60 °С, в результате чего объём запертого воздуха становится таким же, как и был в горизонтальном положении. Найдите d — высоту столбика ртути, если атмосферное давление равно 750 мм рт.ст.
Решение.
Рассмотрим процесс до и после нагревания.
В горизонтальном положении трубки давление воздуха равно внешнему давлению 
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона
В вертикальном положении трубки давление воздуха равно 
где 
— плотность ртути. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для воздуха после нагревания: 
По условию 
значит
количество вещества не менялось
Пусть 
тогда
Ответ: 
Задание 30 № 7966
Воздух в воздушном шаре, оболочка которого имеет массу 
и объём 
нагревают горелкой через отверстие снизу. Окружающий воздух имеет температуру 
и плотность 
При какой минимальной разности температур шар сможет поднять груз массой 
? Оболочка шара нерастяжима.
Решение.
Условие подъёма шара: 
где 
— масса воздуха внутри оболочки. Отсюда
где — плотность воздуха внутри оболочки.
Перепишем уравнение Менделеева — Клапейрона 
в виде 
и запишем его для воздуха снаружи шара и внутри него:
Из чего получаем 
где 
— температура воздуха внутри шара. Подставляем в неравенство (1):
Минимальная разность температур составляет 
Ответ: 70 K.
Первый закон термодинамики
Задание 30 № 4790
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре 
К и давлении 
Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечное давление газа 
Па. Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу 
Дж?
Решение.
Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идёт на изменение его внутренней энергии и на работу против внешних сил: 
Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии определяется только изменением его температуры: 
Согласно условию, процесс идёт таким образом, что давление изменяется обратно пропорционально квадрату объема, то есть можно записать 
где 
— некоторая постоянная (константа выбрана таким образом для удобства дальнейшего изложения). Обращая данное равенство получаем, что 
Идеальный газ подчиняется уравнению Клапейрона — Менделеева:
Записав последнее выражение для начального и конечного состояний, после чего поделив одно на другое, получаем выражение для конечной температуры
Таким образом, количество теплоты, которое газ отдал при расширении, равно
Ответ: 
Задание 30 № 5525
В сосуде объёмом V с жёсткими стенками находится одноатомный газ при атмосферном давлении. В крышке сосуда имеется отверстие площадью 
заткнутое пробкой. Максимальная сила трения покоя F пробки о края отверстия равна 100 Н. Пробка выскакивает, если газу передать количество теплоты не менее 15 кДж. Определите значение V, полагая газ идеальным.
Решение.
1. Пробка выскакивает, если сила давления газа в сосуде становится больше суммы сил атмосферного давления и максимальной силы трения покоя пробки о края отверстия:
2. По первому началу термодинамики переданное газу количество теплоты идёт на изменение внутренней энергии и совершение работы против внешних сил. Объём сосуда не изменяется, следовательно работа газа равна нулю, тогда
3. Идеальный газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона — Менделеева:
Отсюда находим
Ответ: 
Тепловой баланс, тепловое равновесие
Задание 30 № 2987
В калориметре находился 1 кг льда. Чему равна первоначальная температура льда, если после добавления в калориметр 20 г воды, имеющей температуру 
в калориметре установилось тепловое равновесие при 
? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра пренебречь.
Решение.
Количество теплоты, необходимое для нагрева льда, находящегося в калориметре, до температуры t:
Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении ее до 
:
Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании воды при :
Количество теплоты, вьделяющееся при охлаждении льда, полученного из воды, до температуры t:
Уравнение теплового баланса:
Объединяя (1)—(5), получаем:
Ответ: 
Задание 30 № 6975
В калориметр поместили m = 100 г льда при температуре t 1 = –10 ºC, затем сообщили льду количество теплоты Q = 100 кДж и добавили в калориметр ещё М = 200 г льда при температуре t 2 = 0 ºC. Какая температура t 3 установилась в калориметре в состоянии равновесия? Теплообменом содержимого калориметра с окружающей средой и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь.
Решение.
Удельная теплоёмкость льда равна с л = 2100 Дж/(кг·К), удельная теплота плавления льда равна λ = 330 000 Дж/кг.
Вначале вычислим количество теплоты, необходимое для нагревания начальной массы m льда от −10 ºC до 0 ºC и её плавления при 0 ºC:
Q 2 = c л m (t 2 − t 1) + λ m = 2100 · 0,1 · 10 + 330 000 · 0,1 = 35 100 Дж.
Для плавления добавленной массы M льда при 0 ºC необходимо Q 2 = λ M = 330 000 · 0,2 = 66 000 Дж < Q − Q 1 = 100 000 − 35 100 = 64 900 Дж, так что весь добавленный лёд не растает, и в калориметре в состоянии равновесия будет находиться смесь воды и льда при температуре t 3 = 0 °C.
Ответ: t 3 = 0 °C.
Задание 30 № 4252
В теплоизолированном цилиндре, разделённом на две части тонким невесомым теплопроводящим поршнем, находится идеальный одноатомный газ. В начальный момент времени поршень закреплён, а параметры состояния газа — давление, объём и температура — в одной части цилиндра равны 
и 
а в другой, соответственно, 
и 
Поршень отпускают, и он начинает двигаться без трения. Какое давление газа установится в цилиндре спустя достаточно долгое время, когда будет достигнуто состояние равновесия? Теплоёмкостями цилиндра и поршня можно пренебречь.
Решение.
Запишем уравнение состояния (уравнение Клапейрона — Менделеева) для газа в обеих частях цилиндра в начальный момент времени:
Из первого начала термодинамики следует, что внутренняя энергия газа в этом процессе сохраняется, так как газ не обменивается теплотой с окружающими телами и не совершает работы. Запишем выражения для внутренней энергии 
газа. В начальный момент
и в установившемся состоянии равновесия:
Из закона сохранения энергии 
получаем:
