Е» класс-физика
Мы разобрали понятие колебательного движения, основные понятия, условия возникновения колебаний, колебания груза на пружине и математического маятника в отсутствии трения, уравнение колебательного движения, решение уравнения, графическое исследование, сдвиг фаз между x, ax, vx. Повторим, вкратце, основные понятия:
Амплитуда колебаний: максимальное отклонение от положения равновесия.
[A ] = м, см.
Период колебаний: время одного полного колебания.
T = t / N, [ T ] = c
Частота колебаний: число полных колебаний в единицу времени.
υ = N / t = 1 / T. [ υ ] = 1 /c = c-1 = Гц (Г. Герц)
Циклическая частота колебаний: число полных колебаний за 2π секунд.
ω = 2πυ = 2π / T. [ ῳ ] = Гц.
Фаза колебаний: угловая мера времени, прошедшая от момента начала колебаний. Математически: фаза – угол под знаком синуса или косинуса.
φ = ωt + φ0, где φ0 – начальная фаза. [ φ ] = рад (радиан)
Сдвиг фаз: разность фаз. Δφ = φ2 – φ1, [Δφ ] = рад.
Если сдвиг фаз равен нулю, то колебания называются синфазными. Например, ресницы колеблются синфазно…
Если сдвиг фаз равен π (1800), то колебания происходят в противофазе
Уравнение гармонических колебаний (без трения): x = - ω2x.
Решение уравнения: x = Acos(ωt + φ0). При φ0 = 0 x = Acos(ωt). Скорость и ускорение: vx = - ωAcos(ωt), ax = - ω2Acos(ωt).
(см. предыдущую лекцию)
Тогда полная энергия: E = Ek + Ep, или E = mω2A2 / 2.
Если трение не равно нулю, а это всегда так, то часть энергии будет расходоваться на работу против сил трения. Энергия уменьшается и колебания затухают. В уравнение колебательного движения войдёт сила трения и оно примет вид: mx // = - kx–Fтр, Fтр = βv, v = x /. Разделим всё на массу и уравнение примет вид: x // = - (k/m)x – (β / m)x /
k/m = ω2, β / m = γ. Уравнение примет вид: x // + γx/ + ω2x = 0
Решение уравнения будет таким: x = x0·e- γt, v = - γx0e- γt.
График носит непериодический характер. Если трение большое, то не произойдёт даже одного полного колебания. Просто, почти гиперболически, уменьшается амплитуда колебаний. 
Некоторые дополнительные замечания.
1. Логарифм отношения предыдущей амплитуды колебаний к последующей называется логарифмическим декрементом затухания.
δ = ln(A(t) / A(t + Δt)).
2. τ = 1 / γ имеет размерность времени и называется временем «жизни» колебания.
Рассмотрим вынужденные колебания под действием периодически изменяющейся внешней силы. Тогда уравнение колебаний, в отсутствии трения, имеет вил: m x// = -kx–F0cos(ωвt), где F0–амплитуда внешней силы.
Будем искать решение в виде: x = Acos(ωвt). Разделим на массу. Получим: x// = - ω2x + (F0/m)cos(ωвt).
Будем искать решение в виде: x =Acos(ωвt).
После подстановки в уравнение и преобразований получим:
A cos(ωвt)(ω2 – ωв2) = (F0/m)cos(ωвt).
Отсюда находим амплитуду колебаний: A = F0 / m(ω2 - ωв2)
При ω = ωв получаем в знаменателе ноль. Значит амплитуда колебаний уходит на бесконечность. Это явление называется резонансом.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных ω колебаний и частоты ωв вынужденных колебаний называется резонансом.
Если трение не равно нулю, то амплитуда имеет конечное значение. Если трение очень большое, то о резонансе не имеет смысла говорить.
Если трение не равно нулю, то амплитуда колебаний при резонансе:
A = F0 / (m(ω2 - ωв2) + (βω)2, гдеω – собственная частота колебаний, ωв – частота вынужденных колебаний, β – коэффициент сопротивления среды. Поэтому, в знаменателе остаётся не равное нулю число и амплитуда имеет конечное значение.
Можно найти много примеров полезного проявления резонанса: звучание музыкальных инструментов, измерение частоты – частотомеры, осуществление связи (электрический резонанс)…Есть и «вредное» проявление резонанса: необходимо учитывать колебания крыльев самолёта, колебания мостов, станин станков… Поэтому, нужно рассчитывать возможные резонансные частоты, что может привести к разрушению конструкций.
Пример №1.
Маятник длиной Lколеблется с амплитудой А. Определите, за какое время, в долях периода, маятник проходит первую половину амплитуды? вторую половину амплитуды?
Запишем уравнение колебаний в виде: x = Acos(ῳt) Для времени t1 получим: A/2 = Acos(ῳt1). →cos(ῳt1) = ½ → ῳt1 = π/3.
Т.к. ῳ = 2π / Т → t1 = T / 6.
t2 = T / 4 – T / 6 = T / 12.
За одно полное колебание маятник проходит 4 амплитуды. Значит одну амплитуду проходит за четверть периода.
Пример №2.
От груза, висящего на пружине жёсткости k, отваливается его часть массы m. На какую высоту поднимется после этого оставшаяся часть груза?
(Решить самостоятельно.)
Успехов Вам!
С уважением: Идрис Шайхимуллич.