Решение практических задач математическими методами осуществляется в следующей последовательности: постановка задачи исследования, выбор типа и вида математической модели, анализ решения уравнений математического описания.
Постановка задачи исследования осуществляется в виде задания критериев изучения или управления объектом. При этом устанавливается схема взаимодействия объекта с окружающей средой, и учитываются только существенные факторы, система представляется замкнутой.
Выбор типа математической модели осуществляется на основе анализа данных, полученных при поисковом эксперименте. При этом устанавливается: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность объектов или систем. Линейность устанавливается по характеру статической характеристики объекта. Под статической характеристикой объекта понимается связь между величиной внешнего воздействия на объект (величины входного сигнала) и максимальной величиной его реакции на внешнее воздействие (максимальной амплитуды выходной характеристики системы). Под выходной характеристикой системы понимается изменение выходного сигнала системы во времени.
Применение линейных моделей значительно упрощает дальнейший анализ объектов или систем. Нелинейность статической характеристики и наличие запаздывания в реагировании объекта на внешнее воздействие свидетельствуют о нелинейности объекта. В этом случае для его моделирования применяется нелинейная модель. Результаты поискового эксперимента позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по количеству входных звеньев. Схемы взаимодействия могут быть следующие:
одномерно-одномерная схема (на объект действует только один фактор, а его поведение оценивается только по одному выходному сигналу, рис. 4.1, а);
одномерно-многомерная схема (на объект воздействует один фактор, а его поведение оценивается по нескольким выходным сигналам, рис. 4.1, б);
многомерно-одномерная схема (на объект воздействует несколько факторов, а поведение оценивается по одному выходному сигналу, рис. 4.1, в);
многомерно-многомерная схема (на объект воздействует несколько факторов, и его поведение оценивается по нескольким выходным сигналам, рис. 4.1, г).
 |
Выбор отрезков времени, на которых устанавливается статичность или динамичность объекта, должен быть обоснованным. Так, например, при выборе достаточно больших отрезков времени установлено, что объект или система статичны. Если уменьшить интервал времени то, может оказаться, что объект или система станут динамичными.
Выбор вида математической модели включает задание области определения исследуемых параметров объекта, их ограничение и установление зависимостей между ними. Для количественных (числовых) параметров зависимости задаются в виде системы алгебраических или дифференциальных уравнений, а для качественных – в виде табличных способов задания функции.