Постановка задачи: 
1). 
| 2). 
|
3). 
|
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть 
, тогда, если: 
, где 
, то 
Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
1. 
| 2. 
| 3. 
| 4. 
| 5. 
|
6. 
| 7. 
| 8. 
| 9. 
| 10.  .
|
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку: 
, получим: 
.
тогда 
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена 
- комплексные, сделав подстановку: 
, получим: 
.
2). Корни многочлена - действительные: 
. Подстановка: 
, получаем: 
.
b). Подстановка: 
, далее, если:
1).  подстановка - 
| 2).  подстановка - 
|
3).  подстановка - 
|
c).
Если 
подстановка - 
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка: 
, тогда: 
подстановка: 
или 
- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция 
называется первообразной для функции 
на 
, если: 
.
Пусть 
и 
- первообразные функции на . Тогда: 
.
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: 
.
Замечание 26.1: Если - одна из первообразных на , то 
.
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. 
.
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
, 
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a 
0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если 
, то и 
, где u= 
- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Табличные интегралы
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка 
таких, что: 
называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: 
. Мелкостью разбиения 
(читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. 
.
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех 
точки 
. Интегральной суммой функции 
на отрезке с разбиением 
будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек 
) вида: 
.
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число 
, что 
. Обозначается: 
. 
Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: 
.
Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: 
.
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: 
.
Следствие 2: Если функция интегрируема на, то: 
.
Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то 
, т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
, 
3. Если 
, то: 
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
, т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью определенного интеграла.
Сравнение определённых интегралов
Если - интегрируема на и 
, то: 
.
Если - интегрируема на и 
, то: 
Неравенство м\у непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если 
- интегрируемы на и почти для всех 
, то: 
Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если - интегрируема на , то 
- также интегрируема на (обратное неверно), причём: 
Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если - интегрируемы на и 
, то: 