Правило Лопиталя
Теорема 1. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида 
)
____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теорему принимаем без доказательств.
Теорема 2. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённости вида 
)
____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теорему принимаем без доказательств.
Пример 1. Используя правило Лопиталя найти предел функции 
.
Решение. 
.
Пример 2. Используя правило Лопиталя найти предел функции 
.
Решение.
Замечание: Правило Лопиталя применяют до тех пор, пока не избавятся от неопределённости.
Пример 3. Используя правило Лопиталя найти предел функции 
.
Решение. 
Пример 4. Используя правило Лопиталя найти предел функции 
.
Решение.
Возрастание и убывание функции.
Определение. Функция 
называется возрастающей на 
, если _______________________________
_____________________________________________________________________________________________
Определение. Функция называется убывающей на , если _______________________________
_______________________________
______________________________________________________________
Убывающая и возрастающая функции называются монотонными функциями.
Теорема 6. (Необходимые условия возрастания (убывания) функции) ______________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство. Используем для доказательства теоремы геометрический смысл производной. Проведём в произвольных точках несколько касательных к графику возрастающей функции.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Рассмотрим, теперь, убывающую на функцию. Проведём к её графику несколько касательных в произвольных точках.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теорема 7. (Достаточные условия возрастания (убывания) функции) _____________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теорему принимаем без доказательств.
Экстремум функции
Определение. Точка 
называется точкой максимума функции , если____________________________ _______________________________
______________________________________________________________
Определение. Точка называется точкой минимума функции , если____________________________ _______________________________
______________________________________________________________
Значение функции в точке минимума (максимума) называется минимумом (максимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется _____________________________
Теорема 8. (Необходимые условия экстремума функции) ______________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство.
Геометрически равенство 
означает__________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Необходимое условие экстремума не является достаточным условием. То есть, если в точке 
производная функции равна нулю, то это не означает, что в точке существует экстремум функции. Поясним это на примере функции 
.
Пояснение_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.
Например, непрерывная функция 
.
Почему в точке х = 0 функция не имеет производную? ________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум в тех точках, где производная равна нулю или не существует.
Определение. Критическими точками первого рода называются ____________________
____________________________________________________________________
Примем без доказательства следующую теорему.
Теорема 9. (Достаточные условия экстремума функции) _______________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример1. Найти интервалы возрастания и убывания и исследовать на экстремум функцию 
.
Решение. Находим область определения функции:
или 
. Решив это неравенство методом интервалов, получаем 
.
Находим критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
.
Производная равна нулю, если числитель равен нулю, отсюда:
, то есть 
и 
, 
. При этом точка не входит в область определения функции и из дальнейшего анализа исключается.
Производная не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда:
, то есть 
или 
. Получаем: 
, 
, 
.
Отмечаем найденные критические точки на числовой прямой (с учётом области определения заданной функции). Над числовой прямой в выделенных интервалах оцениваем знак производной, под числовой прямой анализируем поведение функции на этих интервалах.
Следовательно, функция в точке 
имеет экстремум, а именно – максимум:
.
На интервалах 
и 
функция возрастает, на интервале 
- убывает.
Пример 2. Найти интервалы возрастания и убывания и исследовать на экстремум функцию 
.
Решение.
Выпуклость графика функции, точки перегиба
Определение. Графикфункции называется выпуклым на , если _______________________________
______________________________________________________________
Определение. Графикфункции называется вогнутым на , если _______________________________
_______________________________
_______________________________
Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.
Теорема 10. __________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Принимаем эту теорему без доказательств, но поясним графически.
Рассмотрим случай выпуклой функции.
Проведём в нескольких точках касательные к графику функции и измерим углы наклона этих касательных к оси Ох. Угол 
в нашем случае равен нулю.
В плоскости 
на оси ординат будем откладывать значения тангенсов измеренных улов. Через точки 
, 
, 
, 
проведём кривую. Получим график первой производной 
.
Как видно из рисунка, первая производная выпуклой функции является убывающей функцией. А, как известно, производная убывающей функции в любой точке меньше нуля. То есть, 
, что и утверждается в теореме.
Рассмотрим случай вогнутой функции.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Определение. Точкой перегиба функция называется ______________________
____________________________________________________________________
Теорема 11. (достаточные условия существования точек перегиба) ________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство.
Определение. Критическими точками второго рода называются_____________________
____________________________________________________________________
Пример 1. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию 
.
Решение. Область определения функции - вся числовая прямая.
Для того чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости, находим критические точки второго рода.
; 
.
Вторая производная существует на всей числовой оси. Будем искать точки, в которых она равна нулю.
или 
.
Отмечаем найденную критическую точку на числовой прямой (с учётом области определения заданной функции). Над числовой прямой в выделенных интервалах оцениваем знак второй производной, под числовой прямой анализируем поведение функции на этих интервалах.
Следовательно, функция в точке 
имеет перегиб и 
.
На интервале 
функция выпукла, на интервале 
функция вогнута.
Пример 2. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию 
.
Решение.