Санкт-Петербургский колледж телекоммуникаций
ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы
«Математика»
ТЕМА 2. «СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
для средних специальных учебных заведений
(базовый уровень)
Автор-составитель: к.ф.-м.н. Г.В. Линц
Санкт- Петербург
Пособие составлено в соответствии с Рабочей программой дисциплины «Математика».
Учебное пособие содержит методические указания по изучению раздела дисциплины - «Элементы линейной алгебры» и варианты контрольной работы.
Данное пособие способствует:
· закреплению полученных знаний на аудиторных занятиях,
· обеспечению логического, алгоритмического и математического мышления;
· умению применять полученные знания при решении различных задач;
· обеспечению сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки.
Самостоятельная работа студентов является важным видом учебной деятельности обучающихся. Такая работа студентов помогает более глубокому усвоению изучаемого материала, закреплению знаний теоретического материала, развитию самостоятельности практическим путем (решение задач - выполнение контрольных работ), творческого подхода к решению проблем учебного и профессионального уровня, используя необходимый инструментарий.
Предназначено в качестве учебного пособия-сборника практических заданий для использования в средних специальных учебных заведениях.
СОДЕРЖАНИЕ
| стр. | |
| 1. введение | |
| 2. указания по выполнения контрольных работ | |
| 3. краткие сведения из теории | |
| 4. таблица вариантов контрольной работы | |
| 5. ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ№2 | |
| 6. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ 0-ГО ВАРИАНТА | |
| 7. ВОПРОСЫДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ | |
| 8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ |
I. ВВЕДЕНИЕ
Самостоятельная работа студентов – это планируемая работа студентов, выполняемая по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия, заключающаяся в выполнение индивидуальных заданий на базе теоретического материала лекционных занятий, учебной литературы, Интернет-ресурсов, раздела «Краткие сведения из теории» в описаниях Практических занятий, выполнение Домашних контрольных работ.
В данном пособии содержатся краткие теоретические сведения и разобраны примеры, необходимые для выполнения Домашней контрольной работы №2; также приведены условия 25 вариантов, где первая цифра – это номер контрольной работы, цифры после точки – это номер варианта.
II. УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1. Контрольное домашнее задание должно выполняться в отдельной тонкой тетради в клетку. Необходимо оставлять поля шириной 5 см. для замечаний преподавателя.
2. На титульном листе тетради должны быть четко написаны фамилия студента, его инициалы, название дисциплины, номер выполняемого варианта.
3. Во всех контрольных работах номер задания обозначается первой цифрой. Номер варианта – после точки, следующей за первой цифрой.
4. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по номеру варианта. Номер варианта совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента, при этом цифра 0 соответствует варианту 10.
5. Решения задач нужно располагать в порядке возрастания их номеров, обязательно записывая условия каждой задачи.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия по ходу решения.
7. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
8. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.
9. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
10. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию преподавателя, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачёта или экзамена.
III. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему уравнений, содержащую m уравнений и n неизвестных (
). Частный пример такой системы является система трех уравнений с тремя неизвестными (х, у, z): 
Параметры 
(i=1,2, 3, j=1,2,3) называют коэффициентами, а bi (i=1,2,3) – свободными членами СЛАУ. С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения в виде 
, где
- матрица системы, 
- матрица неизвестных, 
- матрица свободных членов СЛАУ.
Решение этой системы имеет вид 
(если 
), где 
- матрица, обратная по отношению к матрице А.
Метод присоединённой (союзной) матрицы
Пусть задана матрица An × n. Для того, чтобы найти элементы матрицы A −1, требуется осуществить три шага:
1. Найти определитель матрицы A и убедиться, что Δ A ≠0, т.е. что матрица А – невырожденная.
2. Составить алгебраические дополнения Aij каждого элемента матрицы A и записать матрицу A ∗ n × n =(Aij) из найденных алгебраических дополнений.
3. Записать обратную матрицу с учетом формулы A −1=1Δ A ⋅ A ∗ T.
Матрицу A ∗ T часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице A.
находится по формуле:
, где 
- определитель системы;
- алгебраическое дополнение элемента матрицы 
, т.е.
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
2. Метод Крамера.
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
, при условии, что определитель системы
, (1)
имеет единственное решение, которое определяется
по формулам Крамера 
, (2)
где 
, 
, 
. (3)
(разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки).
Если система однородна, т.е. ci = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = = x3 = 0.
При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Таким образом, решение системы линейных уравнений сводится к вычислению определителей 
по формулам 1-3.
IV. ВАРИАНТЫКОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ№2. Элементы линейной алгебры. Системы линейных алгебраических уравнений.
| N Вариантa | Контрольная работа №1 |
| 2.1 | |
| 2.2 | |
| 2.3 | |
| 2.4 | |
| 2.5 | |
| 2.6 | |
| 2.7 | |
| 2.8 | |
| 2.9 | |
| 2.10 | |
| 2.11 | |
| 2.12 | |
| 2.13 | |
| 2.14 | |
| 2.15 | |
| 2.16 | |
| 2.17 | |
| 2.18 | |
| 2.19 | |
| 2.20 | |
| 2.21 | |
| 2.22 | |
| 2.23 | |
| 2.24 | |
| 2.25 | |
V. ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ№ 2 по вариантам c образцами выполнения 0-го варианта по разделу «Элементы линейной алгебры» по теме « Системы линейных алгебраических уравнений ».
РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ):
1) с помощью обратной матрицы,
2) методом Крамера
| 2.1 | 
|
| 2.2 | 
|
| 2.3 | 
|
| 2.4 | 
|
| 2.5 | 
|
| 2.6 | 
|
| 2.7 | 
|
| 2.8 | 
|
| 2.9 | 
|
| 2.10 | 
|
| 2.11 | 
|
| 2.12 | 
|
| 2.13 | 
|
| 2.14 | 
|
| 2.15 | 
|
| 2.16 | 
|
| 2.17 | 
|
| 2.18 | 
|
| 2.19 | 
|
| 2.20 | 
|
| 2.21 | 
|
| 2.22 | 
|
| 2.23 | 
|
| 2.24 | 
|
| 2.25 | 
|
VI. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ 0-го варианта:
Решить систему линейных уравнений СЛАУ:
1) с помощью обратной матрицы,
2) по методу Крамера.
| 2.0 | 
|
1. Метод решения с помощью обратной матрицы.
Система уравнений
может быть записана в виде , где
, ,
Решение этой системы имеет вид (если ), (1)
где - матрица, обратная по отношению к матрице А.
находится по формуле:
Таким образом, для решения заданной системы уравнений с помощью обратной матрицы, необходимо найти обратную матрицу:
1. Перепишем систему в виде АХ = В, где 
2. Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных 
3. Найдем алгебраические дополнения элементов этого определителя:
4. Обратная матрица имеет вид: = 
;
5. Решение этой системы имеет вид . Найдем решение:
Ответ: 
2. Решение СЛАУ методом Крамера.
Находим определитель системы:
Следовательно, система имеет единственное решение. Находим его по формулам (2-3):
, 
,
.
Ответ: (2; 1; -1).
VII. ВОПРОСЫДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ:
1. Свойства матриц. Действия с матрицами.
2. Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия и определения.
3. Матричная запись СЛАУ.
4. Нахождение союзной матрицы
5. Транспонирование матриц.
6. Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
7. Условия существования ненулевых решений СЛАУ.
VIII. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
Основные источники:
1. Дадаян А.А. Математика: учебник для студ. учреждений СПО: учебник. - 3-e изд. - М.: Форум, 2013.
2. Балдин К.В. Краткий курс высшей математики: учебное пособие для вузов. - М.: Дашков и К°, 2013.
3. Березина Н.А. Высшая математика: учебное пособие для высших и средних учебных заведений. - Саратов: Научная книга, 2012.
4. Березина Н.А. Математика: учебное пособие для высших и средних учебных заведений/ Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.: РИОР: Инфра-М, 2013.
5. Григорьев В.П. Математика: учебник для студ. учреждений СПО/ В.П.Григорьев, С.В.Иволгина; под ред. В.А.Гусева. - М.: Академия, 2014.
6. Майоровская С. В. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений СПО/ С. В.Майоровская, О.Н.Поддубная, Л.В. Станишевская.- Мн.: Вышэйшая школа, 2010.
7. Шипачёв В.С. Высшая математика: учебник. - М.: ИНФРА-М, 2015.
8. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие. - 10-e изд., стер. - М.: ИНФРА-М, 2015.
Дополнительные источники:
1. Балдин К.В. Высшая математика: учебное пособие для вузов.- М.: Флинта, 2010.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи.- М.: Гардарики, 2002.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.-М.: Высш. шк., 2009.
4. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений СПО/ В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский.—М.: Академия, 2009.
Интернет-ресурсы:
1. Exponenta.ru: образовательный математический сайт [Электронный ресурс].- Режим доступа: https://www.exponenta.ru/, свободный.
2. MATH24.ru. Математический анализ: образовательный сайт. 2009-2013. [Электронный ресурс].- Режим доступа: https://www.math24.ru/, свободный.
3. Математика [Электронный ресурс]: интерактивный обучающий курс/ Институт менеджмента, маркетинга и финансов. - Режим доступа: https://math.immf.ru/, свободный.