Показательные уравнения
Ссылка на видео урок
https://cknow.ru/knowbase/543-215-pokazatelnye-uravneniya.html
Показательные уравнения
Если в уравнении присутствуют степенные выражения, а переменная находится в показателе степени, то такие уравнения называются показательными.
Данные уравнения не составят труда для тех, кто знает свойства степенных функций вида у = ах, где основание степени есть число большее нуля, а также не равное единице. Сейчас постараемся вспомнить или выучить их:
1. Областью значения данной функции являются все действительные числа.
2. Областью значения функции являются все положительные числа.
3. Если основание степени находится в пределах между нулем и единицей 0 < а < 1, то график данной функции будет монотонно убывать. Если же а > 1, то функция монотонно растет.
4. Отличительной особенностью графика данной функции является то, что он не касается оси ОХ, но стремится к ней на бесконечности. При этом ось ОУ данный график пересекает в точке (0;1), данная точка получается в том случае, если в качестве показателя степени выбрать число "0". А мы знаем, что любое число в данной степени даст единицу.
Обратите внимание на исключение, которое было задано изначально - в основании степени не может стоять единица, поскольку в данном случае при любом показателе степени число изменяться не будет и графиком такой функции будет прямая, параллельная оси ОХ.
Решение показательных уравнений
Существует несколько самых простых способов решить данное уравнение. Однако, обратите внимание, если уравнение не имеет явное сходство с уравнениями, представленными ниже, то его нужно привести к простому виду.
Главным путем решения таких уравнений является приведение его к одному основанию.
- Если одна из частей уравнения равна единицы, а вторая - степенная функция с переменной в показателе степени, то имеем основной алгоритм решения:
аf(x) = 1 => аf(x) = а0 => f(x) = 0.
Когда уравнение приведено к конечному виду, его следует решать, как любое простейшее алгебраическое уравнение по известным, описанным ранее, способам.
- Если по обеим частям уравнения находятся выражения, в которых основания одинаковы, то имеем право отбросить основания и приравнять показатели степени:
аf(x) = аg(x) => f(x) = g(x).
- Если некоторая степень с переменным показателем равна произвольному числу, то следует воспользоваться основным свойством логарифмов:
аf(x) = b => f(x) = logab.
Образец.
Решить уравнение: 32х + 1 = 27.
Решение. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3;
32х + 1 = 33; если равны степени и равны их основания, то равны и показатели этих степеней. Значит,
2x + 1 = 3;
2x = 3 – 1;
2x = 2;
x = 1. Ответ: 1.
Решить самостоятельно (по образцу)
53х + 1 = 125
92х - 1 = 81
45х + 3 = 16
Показательные неравенства
Ссылка на видео урок
https://cknow.ru/knowbase/553-223-pokazatelnye-neravenstva.html
Решать показательные неравенства следует аналогично к показательным уравнениям. Однако следует обратить внимание на свойства показательных неравенств:
1. Если основание степени находится в пределах от нуля до единицы, то:
2. Если же основание степени больше единицы, то:
3. Если основание степени находится в пределах от нуля до единицы, а в неравенстве с одной стороны степенная функция, а с другой стороны число, то:
4. Аналогичная ситуация для основания степени большего за единицу:
Образец
2x+2 ≤ 645+x
Решение. Представим левую и правую часть неравенства в виде степеней с основанием 2. (Используем свойства:
= a-1; (am ) n = am n; am ∙ an = am+n; am: an =am-n)
2-(2x + 2) ≤ 26 (5 + x); так как основание степени больше единицы, то показательная функция y = 2t является возрастающей, следовательно знак неравенства при переходе от показательного неравенства к алгебраическому сохраняется, значит:
-(2x + 2) ≤ 6(5 + x);
-2x – 2 ≤ 30 + 6x;
-2x – 6x ≤ 30 + 2;
-8x ≤ 32; (делим обе части неравенство на отрицательное число (-8), при этом знак неравенства меняется на противоположный);
x ≥ -4.
Ответ. [-4; + ∞).
Решить самостоятельно (по образцу)
2x-1 ≤ 274+x
4x+2 < 253+ 2x
2x - 3 > 495+x