РАСЧЕТ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Задача о включении в работу многослойного ортотропного
композитного материала при его растяжении
Рассмотрим задачу о растяжении трехслойного композиционного образца, армированного вдоль растяжения и в поперечном направлении, и о включении в работу слоя 2, к которому сила не приложена (Рис 2.1) [1].
Рис 2.1. Трехслойный образец
По ширине образца напряжения считаются постоянными, причем 
. Запишем условия равновесия вдоль продольной оси оx и поперечной оси 
, т.е. по длине и ширине образцасоответственно (координата 
направлена по высоте):
, 
. (2.1)
Цифры в индексах соответствуют слоям. Ввиду симметрии пакета напряжения в слоях 1 и 3 одинаковые. Во всех слоях принимаем одинаковые деформации 
и 
в направлении осей 
и .
Подставляя физические соотношения для ортотропных слоев (1.1) в соотношении (2.1), получим.
;
.
Здесь 
модули упругости вдоль и поперек направления волокон, 
.
После определения деформаций из последних уравнений с помощью соотношений закона Гука найдем напряжения в слоях:
(2.2)
Если при определении напряжений в слоях 1 и 2 принять, что 
, т.е. 
, то соотношения (2.2) примут более простой вид:
; 
. (2.3)
Сравнивая выражения (2.2) и (2.3), можно отметить что (2.2) переходит в (2.3), если в равенствах (2.2) опустить члены, содержащие коэффициенты Пуассона. Несмотря на то, что формулы (2.3) является приближенными в указанном смысле, они хорошо описывают напряженное состояние в слоях на некотором расстоянии от края. На краю образца, где продольные слои нагружены растягивающими напряжениями 
, происходит включение в работу поперечного слоя. Определим длину зоны включения в работу, считая, что напряжения и деформации по ширине образца вдоль координаты z постоянны. Переменные напряжения в краевой зоне слоев будем обозначать 
, 
и 
. Между ними должны выполняться условия равновесия:
; 
. (2.4)
Уравнения (2.4) определяют дополнительное нагруженное состояние, возникающее на краю образца.
Вследствие малой толщины слоев считаем, что напряжение 
не зависит от координаты , т.е. постоянно по толщине. Тогда из уравнений (2.4) найдем
; 
. (2.5)
Здесь 
и 
появляются в результате последовательного интегрирования выражений по y.
Ввиду того что основное напряженное состояние, определяемое равенством (2.3), уравновешивает внешнюю нагрузку, дополнительное напряженное состояние должно быть самоуравновешенным т.е.
.
Окончательно суммарные нормальные напряжения, действующие в продольных и поперечных слоях с учетом (2.1) принимают вид
;
. (2.6)
Неизвестные функции и 
входят в соотношения (2.5) и определяются из условий на поверхности слоёв:
при 
;
при 
, 
;
при 
, 
;
при 
.
Тогда получим выражение для переменных напряжений в слоях:
, 
, 
, (2.7)
, 
, 
.
Таким образом, для трехслойного образца все напряжения выражаются через неизвестное пока переменное напряжение среднего слоя - 
. Так как задача решается в напряжениях, то неизвестное напряжения определяем из уравнения неразрывности деформаций, которое получим, используя принцип наименьшей работы. В этом случае потенциальная энергия имеет вид:
. (2.8)
Считаем, что слои соединены жестко между собой без проскальзывания.
Подставив напряжения в (2.8) согласно выражениям (2.6) и (2.7) и проварьировав подынтегральный функционал, получим уравнение совместности деформаций в виде (примем во всех выражениях 
):
,
где
;
;
.
Анализ коэффициентов уравнения показывает, что 
, и решение уравнения принимает вид
, (2.9)
где 
.
Ввиду того что изменяемая часть напряжений затухает от края, в решении (2.9) следует принимать 
.
Коэффициенты 
и 
определяются из условия на границе второго слоя: при 
.
Тогда напряжения в слоях запишутся в виде:
;
; (2.10)
.
Максимальное значение напряжения 
достигается при значении 
и равно:
.
Если в решении задачи пренебречь напряжениями обжатия слоев , то в слоях будут действовать только напряжения 
и , записанные в форме (2.6) и (2.7). Тогда уравнение совместности деформации будет второго порядка и примет вид
,
где
.
Решение этого уравнения выглядит следующим образом:
. (2.11)
Учитывая затухание напряжения от края, необходимо принять 
.
В отличие от предыдущего решения с помощью решения (2.11) невозможно точно удовлетворить все граничные условия на краю и, как видно, полностью меняется характер изменения напряженного состояния. Константу 
определим из условия 
при . Касательное напряжение на границе второго слоя достигает максимума при , что не соответствует действительности. После определения константы напряжения примут вид:
, (2.12)
, 
.
Характер распределения напряжений по координате 
в слоях образца от края показан на рисунке 2.2. (сплошная линия соответствует решению (2.10), а штриховая - (2.12)). Хотя численные значения напряжений и 
по решениям (2.10) и (2.12) практически совпадают, характер решений существенно отличается.
|
Решение (2.10) позволяет найти положение максимального значения нормальных напряжений. В соответствии с характером изменения напряжения 
при значении 
напряжение во втором слое может достигать предела прочности и вызывать разрушение этого слоя с шагом .
На рисунке 2.3 показано распределение нормальных напряжений, для структуры со следующими параметрами: материал панели имеет слои с углами укладки 
и толщинами 
и 
м. Характеристики слоя материала приняты: модуль вдоль направления волокон 
МПа, поперек направления 
МПа, модуль сдвига 
МПа.
Рис. 2.3. Соотношения напряжения 
в слоях.
Напряжение 
достигает максимума при 
, где в этой точке 
, причем это напряжение будет больше предела прочности 
. Т.е. показано, что после этого в среднем слое образуется система трещин с расстоянием между ними 
. После первого растрескивания с образованием системы микротрещин может образоваться и вторая система микротрещин, если нагрузка такова, что 
превышает предельное напряжение 
.
Получены приближенные соотношения, позволяющие давать оценку изменения модулей упругости в слое с трансверсальными трещинами. Считается, что после появления системы микротрещин в слое изменяется только его поперечный модуль упругости 
, равный 
:
,
Величина удельной средней энергии деформации 
считается по формуле (2.8). Дается приближенная оценка изменению и эффективного модуля упругости после трансверсального растрескивания. Исследуются особенности деформирования слоистой системы после образования первой системы микротрещин и после последующих систем трещин.
На графиках (рис. 2.4) видна последовательность разрушения каждой структуры. Во всех случаях происходит два последовательных растрескивания поперечного слоя, после чего он полностью выключается из работы и работает только продольный слой до полного разрушения. Графики построены для структуры с укладкой волокон 
и 
для трех разных отношений толщин 
для продольного слоя и 
поперечного слоя, при этом толщина оставалась постоянной. Принимаются следующие значения свойств однонаправленной ленты: модуль вдоль направления волокон 
ГПа, модуль поперек волокон 
ГПа, модуль сдвига 
ГПа, коэффициент Пуассона 
, предел прочности вдоль направления волокон 
МПа, поперёк волокон - 
МПа. При базовой расчетной толщине, равной 
мм, рассчитаны варианты: 
и 
.
Показаны графики, иллюстрирующие деформирование поперечного слоя в процессе его работы совместно с продольным слоем и последовательность разрушения поперечного слоя. Из графиков видно, что после второго растрескивания, поперечной слой выключается из работы. В этом случае следует принять 
.
На рисунке 2.4 последний участок диаграммы соответствует случаю, когда поперечной слой полностью разрушен , а жесткость структуры определяется только жесткостью продольного слоя. Это полностью соответствует графикам рис. 2.5.
|
|
| Рис. 2.4. Диаграмма деформирования слоистого пакета с учетом растрескивания | Рис.2.5. Диаграмма деформирования слоя с системой поперечных трещин |