Определение ускорения свободного падения

Определение ускорения свободного падения

С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

 

Цель: ознакомиться с закономерностями колебаний физического маятника, определить ускорение свободного падения.

Оборудование: оборотный (физический) маятник, секундомер.

 

Введение

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка (рис. 1) – называется точкой подвеса маятника.

Получим выражение для периода качания физического маятника. Пусть маятник отклонили из положения равновесия на малый угол , тогда изменение потенциальной энергии маятника равно , где – масса маятника, – высота, на которую поднялся центр масс маятника над его самым нижним положением. Обозначая , получаем для изменения потенциальной энергии

.

В момент прохождения положения равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую

,

где – момент инерции маятника относительно точки подвеса, – его угловая скорость.

Будем пренебрегать силами трения и сопротивления движению тела, тогда сумма потенциальной и кинетической энергии остается неизменной

. (1)

Дифференцируя равенство (1) по времени, получаем уравнение для малых колебаний физического маятника в виде

,

где – частота, – период собственных колебаний.

Частным случаем физического маятника является математический маятник – малое тело, подвешенное на невесомой нити. В этом случае вся масса маятника сосредоточена в точке . Тогда – длина (нити), и получаем формулу для вычисления периода

. (2)

Сравнивая выражения для периодов колебаний математического и физического маятников заключаем, что физический маятник колеблется с тем же значением периода, что и математический с длиной

, (3)

которая называется приведенной длиной физического маятника.

Согласно теореме Гюйгенса, если от точки вдоль прямой отложить отрезок, длина которого равна , и полученную точку выбрать в качестве новой точки подвеса, то период колебаний физического маятник не изменится. Точка называется центром качания.

Теорема Гюйгенса используется для определения ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Для этого определяют период колебаний маятника относительно точки и находят сопряженную точку , для которой период колебаний такой же (период колебаний не изменяется при смене точки подвеса, поэтому маятник и называется оборотным). Расстояние между этими точками равно приведенной длине и может быть измерено точно. Поскольку период колебаний известен, то по формуле (3) можно вычислить .

 

Описание установки

 

Физический маятник – любое тело, имеющее ось вращения не проходящую через центр его масс. В нашем случае это стальная полоса 1 переменного сечения, на протяжении которой имеется несколько отверстий для крепления маятника на оси вращения. На одном конце полосы имеется отверстие 2, а на другом – ряд отверстий 3, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Это позволяет получать физический маятник с различными периодами колебаний. Изменить положение центра масс маятника можно с помощью дополнительного груза 4.

 

 

Описание метода

 

Для физического маятника не удаётся измерить величины и , необходимые для расчёта ускорения свободного падения ,с той же точностью, что и период колебаний . Поэтому предлагается метод, позволяющий с помощью оборотного маятника исключить эти величины из расчётной формулы. Допустим, что удалось найти такое положение точки подвеса маятника, что его периоды колебаний одинаковы и равны . Пусть – расстояние от центра масс до новой точки подвеса, тогда обозначая расстояние между сопряженными точками , из уравнения (2) получим расчётную формулу для ускорения :

. (4)*

Порядок выполнения работы

 

1. Повесить маятник на отверстие (2), расположенное вблизи конца полосы, как показано на рис. 2.

2. Отклонить маятник на малый угол (в пределах 5°–10°) от положения равновесия и отпустить. Измерив время 10 колебаний , определить период . Опыт повторить не менее пяти раз. Результаты записать в табл. 1

3. Снять маятник и измерить расстояния между отверстием (2) и отверстиями № 1–13. Результаты записать в табл. 2.

4. Повесить маятник на крайнее из отверстий (3). Измерить время 10 колебаний и определить период колебаний .

5. Перемещая ось каждый раз на одно отверстие, занести в табл. 2 периоды колебаний для всех отверстий.

 

Таблица 1 Перевернутый маятник Таблица 2

№	, с
, с

№	, м	, с

 

6. Построить на миллиметровой бумаге график (рис. 3) зависимости периода колебаний от расстояния между осями . Провести горизонтальную прямую, соответствующую периоду . Определить координаты и точки пересечения графиков. (приведенная длина маятника) и есть то самое расстояние между осями, при котором периоды колебаний оборотного маятника вокруг осей одинаковы и равны .

7. Рассчитать среднее значение по формуле (4).

 

Примечание: для более точного определения положения точки пересечения и уменьшения погрешности расчета рекомендуется построить вспомогательный рисунок. По табл. 2 найдем два соседних отверстия, для которых периоды качания и удовлетворяют неравенству и построим график, состоящий из двух точек, на отдельном рисунке (рис. 4). Точка пересечения двух графиков находится между ними и может быть определена как точка пересечения двух прямых.

Для уменьшения погрешности можно измерить и снова, по методике, указанной в п. 2.

 

8. Оценить систематическую погрешность измерения , используя аналогию дифференциала функции (3) и погрешности , (см. методы обработки результатов измерений):

.

Погрешностью округления числа пренебрегаем. Поскольку погрешность измерения определяется графиком, то принять равной цене малого деления шкалы на графике, а – цене деления линейки.

9. Записать результат в виде интервала

.

10. Оценить отклонение найденной величины от табличного значения для Челябинска ( = 9,80 м/с²). Сделать вывод по работе.