5-е занятие. Векторы.
Повторить: понятие вектора в - мерном пространстве, ранга системы векторов, базы (базиса) и его нахождение.
Пример 1. Вычислить ранг системы векторов: .
Решение. Проведём ЭП с матрицей: . Т.к. , то ранг системы векторов равен 3.
Пример 2. Найти какую-нибудь базу системы векторов и через неё выразить остальные векторы системы: .
Решение. 1). Вычислим ранг системы векторов:
ранг системы векторов равен 3, любые три вектора из пяти образуют базис. В качестве базиса выберем векторы . Разложим по этому базису оставшиеся векторы и .
2). , где - некоторые числа, определяемые из системы уравнений: по методу Гаусса: т.е. координаты вектора в базисе есть или .
3). Аналогично, , находим или .
Задания для решения.
1. Вычислить ранги системы векторов:
а). .
б). .
в). .
Ответ: а). 3. б). 3. в). 3.
2. Найти какую-нибудь базу системы векторов и через неё выразить остальные векторы системы:
а). .
б). .
Ответ: а). . б). .
3. Векторы составляют базис пространства. Каковы в этом базисе координаты векторов:
а). . б). . в). . г). . д). ?
Ответ: а). . б). . в). . г). . д). .
4. Векторы составляют базис пространства. Можно ли подобрать такие числа , при которых ?
Указание. Составить и решить систему уравнений: .
Ответ: да, можно: .
6-е занятие. Векторы. Скалярное произведение.
Повторить: определение и свойства скалярного произведения векторов, определение коллинеарных векторов, угла между двумя векторами, вычисление проекции одного вектора на другой.
Опр. Модулем вектора называется его длина: .
Опр. Скалярным произведением векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними: .
Угол между векторами и : ; .
Скалярное произведение в координатах: , где , .
Опр. Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны.
Обозначим - проекция вектора на вектор , тогда , откуда соответствующие
проекции вектора на вектор: ; .
Задания для решения.
1. Найти скалярный квадрат вектора: а). . б). . в). .
Указание. Скалярный квадрат вектора . Ответ: а). 49. б). 36. в). 9.
2. Даны векторы и . При каком значении параметра ? Ответ: .
3. Вычислить угол между прямыми и , если , , , .
Указание. Вычислить косинус угла между векторами и . Ответ: .
4. Коллинеарны ли векторы и , где , ? Ответ: да.
5. Даны точки , , , . Определить векторы , и найти . Ответ: -6.
6. Даны точки , , . Найти косинус угла между векторами и . Ответ: -1.
7. Дан с вершинами , , . Найти и сделать проверку.
8. Найти скалярное произведение векторов и , если , и угол между и равен .
7-е занятие. Векторы. Векторное и смешанное произведение.
Повторить: определение и свойства векторного и смешанного произведения векторов.
Опр. , если:
1). , где - угол между и ;
2). и ;
3). Векторы образуют правую тройку.
Применение: площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле: , площадь треугольника .
Векторное произведение в координатах: , где .
Опр. .
Применение: объём параллелепипеда, построенного на векторах , и : ; объём треугольной призмы: ; объём треугольной пирамиды: ; условие компланарности: .
Задания для решения.
1. Даны векторы и . Найти координаты векторных произведений: а). ; б). . Ответ: а). . б). .
2. Сила приложена к точке . Найти её момент относительно начала координат. Указание. .
3. Даны три силы , , , приложенные к точке . Определить момент их равнодействующей относительно точки .
Указание. , . Ответ: .
4. Вычислить объём треугольной призмы, построенной на векторах
, , . Ответ: 25.
5. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах , , , и исследовать, какую тройку образуют эти векторы.
Ответ: 81, правую.
6. Построить пирамиду с вершинами , , и и вычислить её объём, площадь грани и высоты пирамиды, опущенную на эту грань.
Указание. , где . Ответ: 14, .
7. Построить пирамиду с вершинами , , и , вычислить её объём и высоту, опущенную на грань .
Ответ: 14, .
8. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Решение. , , , , , .
Второй способ: ; .
Ответ: .
8-е занятие. Контрольная работа № 2 по теме «Векторная алгебра».
Примерный вариант контрольной работы.
1. Написать разложение вектора по векторам , , .
2. Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами , , и , а также её высоту, опущенную на грань .
3. Исследовать и решить однородную систему уравнений:
Дополнительные задания по теме «Линейная и векторная алгебра».
1. Вычислить определители:
а). . б). . в). . г). .
Ответ: а). . б). 1. в). . г). 144.
2. Найти площадь треугольника с вершинами .
Ответ: 10.
3. Решить системы уравнений:
а). б). в).
Ответ: а). . б). . в). Несовместна.
4. Определить угол между векторами и .
Ответ: .
5. Даны векторы и . Определить и .
Ответ: ; .
6. Даны три последовательные вершины параллелограмма , и . Найти его четвертую вершину и угол между векторами и . Ответ: , .
7. Определить и построить вектор , если:
а). , . б). , . в). , . Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Ответ: а). ; . б). ; . в). ; .
8. Вычислить площадь параллелограмма и его высоту, построенного на векторах и . Ответ: ; .
9. Даны вершины треугольника: , , . Вычислить его площадь и высоту . Ответ: ; .
10. Найти смешанное произведение векторов , , .
11. Показать, что точки , , и лежат в одной плоскости.
12. Показать, что векторы , , компланарны.
13. Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами , , и , а также длину высоты пирамиды, опущенной на грань . Ответ: ; .
Библиография
1. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. 1 том.
2. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. 1 том.
3. Д. Письменный. Конспект лекций по высшей математике.
4. В. С. Шипачёв. Высшая математика.
5. В.П. Минорский Сборник задач по высшей математике.
6. А.А. Шубович, Ю.В. Клочков. Конспект лекций по теме: «Линейная алгебра».
7. А.А. Шубович. Конспект лекций по теме: «Векторная алгебра».
В авторской редакции.
Компьютерная вёрстка Шубовича А.А.
Подписано в печать Формат
Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100. Заказ
Издательско-полиграфический комплекс ВГСХА «Нива»
400002, Волгоград, Университетский пр-т, 26