для специализации 25.05.05.01. – Летная эксплуатация гражданских воздушных судов 3 семестр, 2019 -2020 учебный год
1. Первообразная. Теоремы о первообразных одной и той же функции. Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Достаточные условия существования неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
2. Таблица основных формул интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Основные классы функций, интегрируемых по частям.
3. Рациональная функция. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование простейших дробей и произвольной дробно-рациональной функции.
4. Интегрируемость в конечном виде функций, рационально зависящих от тригонометрических. Универсальная подстановка. Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.
5. Интегрируемость в конечном виде некоторых иррациональных функций. Тригонометрические подстановки.
6. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральная сумма, предел последовательности интегральных сумм, определенный интеграл функции на отрезке. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. Достаточные условия существования определенного интеграла.
7. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами и неравенствами. Теорема о среднем для определенного интеграла.
8. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной от интеграла с переменным верхним пределом. Теорема Ньютона-Лейбница о формуле для вычисления определенного интеграла. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
9. Несобственные интегралы по бесконечным промежуткам. Сходимость и расходимость несобственных интегралов.
10. Геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов. Теоремы сравнения для несобственных интегралов.
11. Двойной интеграл, его свойства и условия существования. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.
12. Тройной интеграл, его свойства и условия существования. Вычисление тройного интеграла.
13. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
14. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги), его свойства и условия существования. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
15. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам), его свойства и условия существования. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
16. Дивергенция векторного поля, физический смысл. Потенциальное поле.
17. Циркуляция векторного поля, физический смысл.
18. Ротор векторного поля, физический смысл. Соленоидальное поле.
19. Дифференциальное уравнение. Порядок, решение, интегральная кривая дифференциального уравнения.
20. Задача и теорема Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения первого порядка.
21. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, методы их решения.
22. Однородное уравнение первого порядка, метод его решения.
23. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка и метод его решения.
24. Уравнение Бернулли.
25. Уравнение в полных дифференциалах.
26. Численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Ломаная Эйлера.
27. Задача и теорема Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
28. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (однородные, неоднородные). Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения.
29. Структура общего решения линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений второго порядка.
30. Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение.
31. Нахождение частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями методом неопределенных коэффициентов.
32. Метод вариации произвольных постоянных.
33. Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений. Решение систем методом исключения.
34. Основные виды уравнений математической физики. Начальные, граничные, краевые условия. Постановка краевой задачи для волнового уравнения.
35. Оригинал и изображение. Преобразование Лапласа и его свойства.
36. Операционный метод решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
37. Числовой ряд. Сходимость или расходимость числового ряда. Сумма числового ряда. Ряд геометрической прогрессии, гармонический ряд.
38. Свойства числовых рядов.
39. Необходимое условие сходимости и достаточное условие расходимости числовых рядов.
40. Теоремы сравнения рядов с положительными элементами.
41. Теорема Даламбера для рядов с положительными элементами.
42. Радикальный и интегральный признаки сходимости рядов с положительными элементами.
43. Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) и его сходимость.
44. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница об условиях сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
45. Знакопеременный ряд. Абсолютная или условная сходимость знакопеременных рядов.
46. Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда.
47. Степенной ряд. Теорема Абеля для степенного ряда. Структура области сходимости степенных рядов.
48. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
49. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена.
50. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов.
51. Степенной ряд в комплексной области. Примеры аналитических функций и их свойства. Формулы Эйлера.
52. Тригонометрический ряд. Выражение коэффициентов тригонометрического ряда через его сумму. Тригонометрический ряд Фурье.
53. Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Комплексная форма ряда Фурье.