I. Задачи по теме «Линейные алгоритмы»

1.01 Вычислить периметр и площадь прямоугольного треугольника по заданным длинам двух катеров a и b.

1.02 Найти произведение цифр заданного четырёхзначного числа.

1.03 Даны два действительных числа. Найти среднее арифметическое кубов этих чисел и среднее геометрическое модулей этих чисел.

1.04 Дана сторона равностороннего треугольника. Найти площадь этого треугольника, его высоты, радиусы вписанной и описанной окружностей.

1.05 Треугольник задан величинам своих углов и радиусом описанной окружности. Найти стороны треугольника.

1.06 Найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями a и b и углом при большом основании а.

1.07 Дано действительное число а. Не используя никаких функций и никаких операций, кроме умножения, получить а⁸ за три операции; а¹⁰ и а¹⁶ за четыре операции.

1.08 Найти сумму членов арифметической прогрессии, если известны её первый член, знаменатель и число членов прогрессии.

1.09 Найти все углы треугольника со сторонами а, b, с. Предусмотреть в программе перевод радианной меры угла в градусы, минуты и секунды.

1.10 Составить программу для вычисления пути, пройдённого лодкой, если её скорость в стоячей воде u км/ч, скорость течения реки u км/ч, время движения по озеру t₁ ч, а против течения реки - t₂ ч.

1.11 Текущее показание электронных часов: m часов (0£ m £23), n мин (0£ n £ 59), k сек (0£k£59). Какое время будут показывать часы через p ч d мин r c?

1.12 Ввести любой символ и определить его порядковый номер, а также указать предыдущий и последующий символы.

1.13 Дана величина А, выражающая объём информации в байтах. Перевести А в более крупные единицы измерения информации.

1.14 Организацией приобретено n принтеров и m компьютеров. Ввести необходимые данные с клавиатуры. Получить стоимость всей покупки.

1.15 Угол а задан в градусах, минутах и секундах. Найти его величину в радианах (с максимально возможной точностью). При тестировании программы рекомендуется проверить работоспо­собность программы для углов, больших развернутого, а также для отрицательных углов.

1.16 Решить задачу, обратную предыдущей, то есть перевести заданную величину угла из радианной меры в градусную.

1.17 Длина отрезка задана в дюй­мах (1 дюйм = 2,54 см). Перевести значение длины в мет­рическую систему, то есть выразить ее в метрах, санти­метрах и миллиметрах. Так, например, 21 дюйм = 0 м 53 см 3,4 мм.

1.18 Заданы моменты начала и конца некоторого промежутка времени в часах, мину­тах и секундах (в пределах одних суток). Найти продолжительность этого промежутка в тех же единицах измерения.

1.19 В такси одновременно сели три пассажи­ра. Когда вышел первый пассажир, на счетчике 6ыло р₁ рублей; когда вышел второй — р₂ рублей. Сколько дол­жен был заплатить каждый пассажир, если по оконча­нии поездки счетчик показал р₃ рублей? Плата за посад­ку составляет р₀ рублей. Тестирование программы: общая сумма оплаты пассажирами долж­на совпадать с показанием счетчика по окончании по­ездки. Рассмотрите крайние ситуации. По справедли­вости, если все три пассажира вышли одновременно, они должны заплатить по (р₀ + р₃)/3 руб. Если же пер­вый и второй пассажиры «передумали ехать», они пла­тят по р₀/3 руб., а оставшаяся сумма ложится на счет третьего пассажира.

1.20 Коммерсант, имея стартовый капи­тал k рублей, занялся торговлей, которая ежемесячно увеличивает капитал на р%. Через сколько лет он нако­пит сумму s, достаточную для покупки собственного магазина?

1.21 Селекционер вывел новый сорт зерно­вой культуры и снял с опытной делянки k кг семян. Посе­яв 1 кг семян, можно за сезон собрать р кг семян. Через сколько лет селекционер сможет засеять новой культу­рой поле площадью s га, если норма высева п кг/га?

1.22 За первый год производительность труда на предприятии возросла на p₁ %, за второй и третий — соответственно на р₂ и р₃ %. Найти среднегодовой прирост производи­тельности (в процентах). Тестирование, алгоритмизация: если ежегодный при­рост постоянен, то и среднегодовой прирост р такой же: р₁=р₂=p₃. Общий прирост за 3 года в общем слу­чае составит Тот же результат можно получить при среднегодовом приросте р: Остается найти величину р.

1.23 Заданы три корня куби­ческого уравнения: x₁, х₂, х₃. Найти коэффициенты это­го уравнения.

1.24 Найти корни квадратно­го уравнения, заданного своими коэффициентами, с по­ложительным дискриминантом; подстановкой в урав­нение убедиться в погрешности вычислений.

1.25 Заданы действительная и мни­мая части комплексного числа z = х + iy. Преобразовать его в тригонометрическую форму и напечатать в виде выражения: z = r(cos j + i sin j). Для справки: .

1.26 Заданы коорди­наты точки подвеса математического маятника А(х₀, у₀, z₀) и координаты одной из точек его наивысшего подъема В (х₁, у₁, z₁). Найти координаты самой низкой точки траектории и другой наивысшей точки подъема.

1.27 Заданы уравнения двух пересекающихся прямых на плоскости: y = k₁+b₁; y= k₂+b₂. Найти (в градусах и минутах) угол между ними, используя формулу: .

1.28 Русские не метрические единицы длины: 1 вер­ста = 500 саженей; 1 сажень = 3 аршина; 1 аршин = = 16 вершков; 1 вершок = 44,45 мм. Длина некоторого отрезка составляет р метров. Перевести ее в русскую не метрическую систему.

1.29 У квадрата ABCD на плоско­сти известны координаты двух противоположных вер­шин — точек А и С. Найти координаты точек В и D. Примечание. Расположение квадрата произвольно; его стороны не обязательно параллельны координатным осям.

1.30 В равнобедренном прямо­угольном треугольнике известна высота h, опущенная на гипотенузу. Найти стороны треугольника.

1.31 Треугольник ABC задан длинами своих сторон. Найти длину высоты, опущенной из вер­шины А. Экстремальные тесты: сумма двух сторон равна треть­ей; одна из сторон равна нулю.

1.32 Из круга радиуса r вырезан прямоугольник, большая сторона которого равна а. Найти максимальный радиус круга, который можно вырезать из полученного прямоугольника? Экстремальные тесты: a = 2r; a = rÖ2.

1.33 Найти координаты верши­ны параболы у = ах² + bх + с.

1.34 Функция у=sinx на отрез­ке [0;p/2] хорошо аппроксимируется разложением: у=х-x³/6+x⁵ /120. Для заданного значения аргумен­та х вычислить у по этой формуле и сравнить с точным значением, вычисленным с помощью стандартной функ­ции sin.

1.35 Владелец автомоби­ля приобрел новый карбюратор, который экономит 50% топлива, новую систему зажигания, которая эконо­мит 30% топлива, и поршневые кольца, экономящие 20% топлива. Верно ли, что его автомобиль теперь смо­жет обходиться совсем без топлива? Найти фактическую экономию для произвольно заданных сэкономленных процентов.

1.36 Треугольник задается координатами своих вершин на плос­кости: A(x_1, y₁), В(х_2,, у₂), С(х₃,y₃). Найти площадь треугольника ABC.

1.37 Треугольник задается координатами своих вершин на плос­кости: A(x_1, y₁), В(х_2,, у₂), С(х₃,y₃). Найти сумму длин медиан треугольника ABC

1.38 Треугольник задается координатами своих вершин на плос­кости: A(x_1, y₁), В(х_2,, у₂), С(х₃,y₃). Найти точку пересечения биссектрис треугольни­ка ABC (центр вписанной в него окружности).

1.39 Треугольник задается координатами своих вершин на плос­кости: A(x_1, y₁), В(х_2,, у₂), С(х₃,y₃). Найти внутренние углы треугольника ABC (в гра­дусах).

1.40 Треугольник задается координатами своих вершин на плос­кости: A(x_1, y₁), В(х_2,, у₂), С(х₃,y₃). Найти длину и основание высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

1.41 Треугольник задается координатами своих вершин на плос­кости: A(x_1, y₁), В(х_2,, у₂), С(х₃,y₃). Найти точку D, симметричную точке А относи­тельно стороны ВС.

1.42 Трехмерные век­торы заданы своими координатами: А = (х_а, у_а, z_a). B = (х_b, у_b, z_b). Найти угол (в градусах) между векторами А и В, используя формулу: .

1.43 Трехмерные век­торы заданы своими координатами: А = (х_а, у_а, z_a), B = (х_b, у_b, z_b), С = (х_с, у_с, z_с). Найти объем пирамиды, построенной на векторах А, В, С, как на сторонах.

1.44 Трехмерные век­торы заданы своими координатами: А = (х_а, у_а, z_a), B = (х_b, у_b, z_b), С = (х_с, у_с, z_с). Найти длину диагонали параллелепипеда, пост­роенного на векторах А, В, С, как на сторонах.

1.45 На тело действуют две силы, заданные трехмерными век­торами А = (х_а, у_а, z_a), B = (х_b, у_b, z_b). Найти величину и направление (углы с коорди­натными осями) их равнодействующей.

1.46 Текущее время (часы, мину­ты, секунды) задано тремя переменными: h, m, s. Округ­лить его до целых значений минут и часов. Например, 14 ч 21 мин 45 с преобразуется в 14 ч 22 мин или 14 ч, а 9 ч 59 мин 23 с — соответственно в 9 ч 59 мин или 10 ч.

1.47 Животновод в начале каждой зимы повышает отпускную цену на молоко на р%, а каж­дым летом — снижает на столько же процентов. Изме­нится ли цена на молоко и если да, то в какую сторону и на сколько через п лет?

1.48 Чапаеву надо под прямым углом к фар­ватеру преодолеть реку Урал шириной b м. Его скорость в стоячей воде v₁ м/с; скорость течения реки — v₂ м/с. Под каким углом к фарватеру он должен плыть, чтобы его «не снесло»? Сколько времени займет переправа? Как изменится решение, если посредине реки Чапаева ранили в руку, и его скорость с v₁ м/с упала до v₃ м/с?

1.49 Сколько кругов заданного радиуса r можно вырезать из правильного треугольни­ка со стороной a?

1.50 Какова должна быть длина стороны правильного треугольника а, чтобы из него
можно было вырезать п кругов радиуса r?