Расчет коэффициентов Джини и Лоренца

Графический способ

Вертикальными линиями можно разделить фигуру над кривой Лоренца на два треугольника и несколько трапеций.

Площадь треугольника — половина основания на высоту, а трапеции — полусумма оснований на высоту (поверните голову на 90º, высоты расположены горизонтально, а основания — вертикально). Высоты равны размерам групп, а основания легко посчитать. В нашем случае площадь фигуры будет такой:

фигура	расчет площади	площадь
треугольник a	10%*20%/2=0,1*0,2/2	0,01
трапеция b	(10%+20%)/2*40%=0,3/2*0,4	0,06
трапеция c	(20%+20%)/2*30%=0,4/2*0,3	0,06
треугольник d	20%*10%/2=0,2*0,1/2	0,01
Всего площадь фигуры (a+b+c+d)	0,14

Теперь разделим ее на площадь треугольника под диагональю (а он, напоминаю, всегда равен 0,5) и получим: 0,14/0,5= 0,28

Таким образом, 0,28 или 28% и есть значение индекса Джини.

Другой графический способ: посчитать площадь фигур под кривой Лоренца, а затем вычесть их из площади треугольника под диагональю (0,5) и получить площадь над кривой. И ее уже разделить на 0,5.

Этот случай удобнее, когда цифры не такие круглые и ширина оснований трапеций над кривой неочевидна.

В нашем случае

фигура	расчет площади	площадь
треугольник a	10%*20%/2=0,1*0,2/2	0,01
трапеция b	(10%+40%)/2*40%=0,5/2*0,4	0,1
трапеция c	(40%+70%)/2*30%=1,1/2*0,3	0,165
трапеция d	(70%+100)%/2*10%=1,7/2*0,1	0,085
Всего площадь фигуры (a+b+c+d)	0,36

Отнимаем 0,36 от 0,5 и получаем 0,14 — площадь фигуры над кривой

Далее, как и в первом способе, делим эту площадь на 0,5 (площадь треугольника под диагональю) и получаем: 0,14/0,5= 0,28

Алгебраический способ

Наиболее проста в употреблении формула:

где:

-доля i-ой группы в составе населения

-доля i-ой группы в объеме доходов

-кумулированная (накопленная) доля i-ой группы в составе населения

 

Составим таблицу на основе данных предыдущего примера:

Доля населения ()	Доля от общего дохода ()	Накопленная доля общего дохода ()
20%	10%	10%	0,02	0,02
40%	30%	40%	0,12	0,16
30%	30%	70%	0,09	0,21
10%	30%	100%	0,03	0,1
Итого:	0,26	0,49

Если вы не понимаете, как построена эта таблица, откройте спойлер:

Как построена эта таблица?

Теперь можно подставить полученные суммы в формулу, которая приведена выше:

Мы получили ответ 0,28 — такой же, как и графическим методом.

Это самая простая в применении формула. Советую ее запомнить. А если вдруг хочется понять, как она выведена, откройте этот спойлер:

Как выведена эта формула?

Есть и другие формулы, расчет по одной из них приведен, например, вот тут. Мне кажется, что в ней проще запутаться, а получается ровно то же самое.

Чтобы проверить себя, решите задачу. Ответ и решение под спойлерами:

Задача

Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте индекс Джини.

Ответ

G≈0,286

[свернуть]

Алгебраическое решение

Поскольку средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые — в два раза больше среднего класса, то всего они зарабатывают семь долей бедного класса, то есть, соответственно, 1/7, 2/7 и 4/7, что примерно равно 0,143, 0,286 и 0,571

Доля населения(x)	Доля от общего дохода (y)	Накопленная доля общего дохода (cum y)	x*y	x*cum y
0,333	0,143	0,143	0,048	0,048
0,333	0,286	0,429	0,095	0,143
0,333	0,571	1,000	0,190	0,333
Итого:	0,333	0,524

G=1-2*0,524+0.333 ≈0,286

[свернуть]

Графическое решение

Удобней считать площадь под кривой, так как цифры в натуральных дробях.

Площадь треугольника a равна (1/7*1/3)/2=1/42

Площадь трапеции b равна (1/7+3/7)/2*1/3=2/7*1/3=2/21

Площадь трапеции c равна (3/7+1)/2*1/3=5/7*1/3=5/21

Общая сумма фигур 1/42+2/21+10/21=1/42+4/42+10/42=15/42

Чтобы получить фигуру над кривой Лоренца, нужно эту сумму вычесть из 0,5

0,5-15/42=21/42-15/42=6/42=3/21

Для того, чтобы получить значение индекса Джини, делим это число на 0,5

3/21 / 0,5 = 6/21 ≈0,286

 

Известны следующие данные о среднедушевых доходах

Среднедушевой доход, тыс. руб. /мес	Структура населения, х%	Доходы, тыс. ден. ед.	Структура доходов у, %
0-7,5	17,3	64,9
7,5-11,5	32,6	309,7
11,5-15,5	24,5	330,8
15,5-21,0	15,7	447,1
21,0-30,0	7,1	181,0
30,0-50,0	2,8	112,0
Итого

Найти коэффициенты Джини и Лоренца.

Решение задачи

Рассчитаем процент доходов для каждого интервала среднедушевого дохода.

Общие доходы 1445 тыс. ден. ед. принимаются за 100%.

Тогда 64,9 тыс. ден. ед. – это Х%.

1445 – 100%

64,9 – это Х%.

Значит Х=100%*64,9/1445=4,5%.

Общие доходы 1445 тыс. ден. ед. – это 100%.

Тогда 309,7 тыс. ден. ед. – это Х%.

Х=21,4%.

Остальные доли доходов рассчитываются аналогично.

Обобщим полученные данные в таблице.

Среднедушевой доход, тыс. руб. /мес	Структура населения, х%	Доходы, тыс. ден. ед.	Структура доходов у, %
0-7,5	17,3	64,9	4,5
7,5-11,5	32,6	309,7	21,4
11,5-15,5	24,5	330,8	22,9
15,5-21,0	15,7	447,1	30,9
21,0-30,0	7,1	181,0	12,5
30,0-50,0	2,8	112,0	7,8
Итого

 

Расчет коэффициентов Джини и Лоренца

Рассчитаем коэффициенты Джини и Лоренца с помощью таблицы.

Хi	Yi	Хi*Yi	Кумулята cum X	Кумулята cumY	Xi*cumYi
0,173	0,045	0,008	0,173	0,045	0,008
0,326	0,214	0,070	0,499	0,259	0,084
0,245	0,229	0,056	0,744	0,488	0,120
0,157	0,309	0,049	0,901	0,797	0,125
0,071	0,125	0,009	0,972	0,922	0,065
0,028	0,078	0,002	1,000	1,000	0,028
1,000	1,000	1,000	-	-

Коэффициент Лоренца рассчитывается по следующей формуле: .

 

Модуль это неотрицательное число.

Рассчитаем коэффициент Лоренца по данным задачи.

Коэффициент Лоренца

=(|17,3-4,5|+|32,6-21,4|+|24,5-22,9|+|15,7-30,9|+|7,1-12,5|+|2,8-7,8|)/2=0,255=25,5%.

Коэффициент Джини рассчитывается по следующей формуле: .

 

Где cum yi – накопленная частота y.

Рассчитаем коэффициент Джини по данным задачи.

Коэффициент Джини = =1-2*0,43+0,194=0,334.