Расчетное задание № 1
Кинематика, динамика, законы сохранения энергии.
И импульса материальной точки. Элементы теории поля.
Законы вращательного движения твердого тела.
Колебания и волны. Элементы теории относительности.
Основные формулы
Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x
где f(t) - некоторая функция времени.
Проекция средней скорости на ось x
Средняя путевая скорость
где Ds - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt. Путь Ds в отличие от разности координат Dx = x2-x1не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. Ds ³ 0.
Проекция мгновенной скорости на ось x
Проекция среднего ускорения на ось x
Проекция мгновенного ускорения на ось x
Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности
, r=R-const
Модуль угловой скорости
Модуль углового ускорения
Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:
где -модуль линейной скорости; и - модули тангенциального и нормального ускорений; w - модуль угловой скорости; e - модуль углового ускорения; R -радиус окружности.
Модуль полного ускорения
или
Угол между полным и нормальным ускорениями
Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,
.
Второй закон Ньютона
где - результирующая сила, действующая на материальную точку.
Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости
где -коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость);
x - абсолютная деформация;
б) сила тяжести
в) сила гравитационного взаимодействия
где - гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационного поля:
г) сила трения (скольжения)
где f - коэффициент трения; N - сила нормального давления.
Закон сохранения импульса
или для двух тел (i=2)
,
где и - скорости тел в момент времени, принятый за начальный; и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,
, или
Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины
где - жесткость пружины; x - абсолютная деформация;
б) гравитационного взаимодействия
где - гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где
R — радиус Земли).
Закон сохранения механической энергии
Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:
Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки
x = A cos(wt+j),
где х - смещение; А -амплитуда колебаний; w - угловая или циклическая частота; j - начальная фаза.
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
u = -Aw sin (wt+j); a = - Aw2 cos (wt+j).
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
а) амплитуда результирующего колебания
б) начальная фаза результирующего колебания
Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,
x = A1 cos wt; y = A2 cos (wt+j);
а) если разность фаз j=0;
б) если разность фаз j=±p;
в) если разность фаз j=±p/2.
Уравнение плоской бегущей волны
где y - смещение любой из точек среды с координатой x в момент t;
u - скорость распространения колебаний в среде.
Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dxмежду точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;
где l - длина волны.
Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z
где Мz - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; e - угловое ускорение; Jz - момент инерции относительно оси вращения.
Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:
а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
где R - радиус обруча (цилиндра);
в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,
где w - угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,
= const,
где Jz - момент инерции системы тел относительно оси z; w - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,
или
Релятивистская масса
или
где mo - масса покоя частицы; u - ее скорость; с - скорость света в вакууме; b - скорость частицы, выраженная в долях скорости света
(b = u/с).
Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы
или
где Ео=mос2 - энергия покоя частицы.
Полная энергия свободной частицы
Е = Ео + Т,
где Т - кинетическая энергия релятивистской частицы.
Кинетическая энергия релятивистской частицы
или
Импульс релятивистской частицы
или
Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы
Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с3. Найти координату х, скорость и ускорение точки в момент времени t = 2с.
Решение. Координату xнайдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B и C и времени t:
x = (2 + 1×2 - 0,5×23)м = 0.
Мгновенная скорость относительно оси хесть первая производная от координаты по времени:
.
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
В момент времени t = 2 с
= (1 - 3×0,5×22) м/c = - 5 м/c;
= 6(- 0,5) × 2 м/с2 = - 6 м/с2.
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A + Bt + Ct2, где A= 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени t =4 с.
Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис.1):
Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения
(1)
Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами
где w - модуль угловой скорости тела; e - модуль его углового ускорения.
Подставляя выражения и в формулу (1), находим
. (2)
Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:
В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости
w = [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
= 2 C = - 4 рад/с2.
Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем
м/с = 1,65 м/с2.
Пример 3. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением
(1)
где Т1 - кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u2. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:
(2)
(3)
Решим совместно уравнения (2) и (3):
Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на u1 и m1, получим
Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.
Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m= 80г (рис.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1 = 100г и m2 = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.
Решение: Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза
; (1)
для второго груза
(2)
Под действием моментов сил и относительно оси z перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,
(3)
где - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.
Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити и . Воспользовавшись этим подставим в уравнение (3) вместо и выражения и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):
После сокращения на и перегруппировки членов найдем
(4)
Формула (4) позволяет массы m1, m2 и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение - в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим
Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости u1, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37×106 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь.
Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,
Т1 + П1 = Т2 + П2, (1)
где Т1, П1 и Т2, П2 - кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.
Согласно определению кинетической энергии,
Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии
По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т2 станет равной нулю, а потенциальная - достигнет максимального значения:
Подставляя выражения Т1, П1, Т2 и П2 в (1), получаем
откуда
Заметив, что GM/R2=g (g - ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде
что совпадает с выражением для первой космической скорости.
Произведем вычисления:
м/с = 7,9 км/с.
Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость u относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:
const, (1)
где Jz - момент инерции платформы с человеком относительно оси z;
w - угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии а в конечном состоянии .
С учетом этого равенство (1) примет вид
(2)
где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и - к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы)можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека
Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости (w' = u/R, где u - скорость человека относительно пола):
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость
Произведем вычисления:
м/с.
Пример 7. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.
Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:
где w = 2p/Т. Отсюда амплитуда
(1)
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = -kx, где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax, равном амплитуде:
Fmax = kA. (2)
Коэффициент k выразим через период колебаний:
k = mw2 = m×4p2/T2. (3)
Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим
Произведем вычисления:
0,045 м = 45 мм;
Пример 8. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями
где А 1 = 3 см, А 2 = 2 см, t 1 = 1/6 с, t 2 = 1/3 с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.
Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме
х = A cos (wt+j), получим
Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту
.
Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны
Произведем вычисления:
с-1;
Изобразим векторы А1 и А2. Для этого отложим отрезки длиной А1 = 3 см и А2 = 2 см под углами j1 = 30о и j2 = 60о к оси 0х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А1 и А2: А = А1 + А2. Согласно теореме косинусов:
Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 3):
Произведем вычисления:
см = 4,84 см;
или j = 0,735 рад.
Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде
где А = 4,84 см, w = 3,14 с-1, j = 0,735 рад.
Молекулярная физика. Термодинамика
Основные формулы
Количество вещества тела (системы)
n = N/NA,
где N - число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); NА - постоянная Авогадро
(NА = 6,02×1023моль-1).
Молярная масса вещества
M = m/n,
где m - масса однородного тела (системы); n - количество вещества этого тела.
Относительная молекулярная масса вещества
Mr = SniAr,i,
где ni - число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества; Ar,i - относительная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д.И.Менделева.
Связь молекулярной массы М с относительной молекулярной массой вещества
M = Mrk,
где k = 10-3 кг/моль.
Количество вещества смеси газов
n = n1 + n2 + … + nn = N1/NA + N2/NA + … + Nn/NA,
или
где ni, Ni, mi, Mi - соответственно количество вещества, число молекул, масса, молекулярная масса i-го компонента смеси.
Уравнение Менделеева-Клайперона (уравнение состояния идеального газа)
где m - масса газа, М - молекулярная масса газа, R - молекулярная газовая постоянная, n - количество вещества, Т - термодинамическая температура.
Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клайперона для изопроцессов:
а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T=const, m=const)
pV = const,
или для двух состояний газа
p1V1 = p2V2;
б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p=const, m=const)
или для двух состояний
в) закон Шарля (изохорный процесс: V=const, m=const)
или для двух состояний
г) объединенный газовый закон (m=const)
или
где p1,V1,T1 - давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p2,V2,T2 - те же величины в конечном состоянии.
Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,
р = р1 + р2 + … + рn
где pi - парциальные давления компонентов смеси; n - число компонентов смеси.
Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.
Молекулярная масса смеси газов
где mi - масса i-го компонента смеси; ni = mi/Mi - количество вещества i-го компонента смеси; n - число компонентов смеси.
Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)
где m - масса смеси.
Концентрация молекул
где N - число молекул, содержащихся в данной системе; r - плотность вещества; V - объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.
Основное уравнение кинетической теории газов
p = n áeпñ,
где áeпñ - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
áeпñ = kT,
где k - постоянная Больцмана.
Средняя полная кинетическая энергия молекулы
áeiñ = kT,
где i - число степеней свободы молекулы.
Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
p = nkT.
Скорости молекул:
- средняя квадратичная;
- средняя арифметическая;
- наиболее вероятная,
где mi - масса одной молекулы.
Относительная скорость молекулы
u = u/uB,
где u - скорость данной молекулы.
Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сv) и постоянном давлении (cp)
Связь между удельной с и молекулярной С теплоемкостями
с = С/М, С = сМ.
Уравнение Майера
Сp – Cv = R
Внутренняя энергия идеального газа
Первое начало термодинамики
где Q - теплота, сообщенная системе (газу); DU - изменение внутренней энергии системы; А - работа, совершенная системой против внешних сил.
Работа расширения газа:
в общем случае;
A = p(V2-V1) при изобарном процессе;
при изотермическом процессе;
, или
при адиабатном процессе, где g = сp/cv - показатель адиабаты.
Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:
Термический КПД цикла
где Q1 - теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q2 - теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.
Термический КПД цикла Карно
где T1 и T2 - термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.
Коэффициент поверхностного натяжения
или
где F - сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; DЕ - изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади DS поверхности этой пленки.
Формула Лапласа, выражающая давление р, создаваемое сферической поверхностью жидкости:
где R - радиус сферической поверхности.
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
где q - краевой угол (q = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; q = p при полном несмачивании); R - радиус канала трубки; r - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения.
Высота подъема жидкости между двумя близкими параллельными друг другу плоскостями
где d - расстояние между плоскостями.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить молярную массу М смеси кислорода массой г и азота массой г.
Решение. Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси m к количеству вещества смеси :
. (1)
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:
.
Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:
.
Подставив в формулу (1) выражения и , получим
. (2)
Найдем молярные массы кислорода и азота :
кг/моль; кг/моль.
Подставим значения величин в (2) и произведем вычисления:
кг/моль =
= кг/моль.
Пример 2. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой г.
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода
. (1)
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
. (2)
Число всех молекул газа
, (3)
где – постоянная Авогадро; – количество вещества.
Если учесть, что количество вещества , где m – масса газа; М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид
.
Подставив выражение N в формулу (2), получаем
. (4)
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода кг/моль:
Дж Дж;
Дж Дж.
Пример 3. Вычислить удельные теплоемкости и смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют и . Значения удельных теплоемкостей газов взять из справочника.
Решение. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на , выразим двумя способами:
, (1)
, (2)
где – удельная теплоемкость неона; – удельная теплоемкость водорода.
Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на , получим . Отсюда
,
или
,
где и .
Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:
.
Произведем вычисления: