ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РАСЧЕТОВ ПО ФОРМУЛАМ
Содержание:
Основные определения теории погрешностей.
Основные правила для погрешностей вычислительных операций
Правило 1
Правило 2
Правило 3
Правило 4
Таблица №1. Производные элементарных функций.
Методы оценки погрешности расчета
Метод табличный
Пример Cos(X)
Пример Ctg(X)
Метод аналитический (непосредственного дифференцирования.
Метод математического эксперимента
План математического эксперимента
Пример 3.МЭ
Существует три метода оценки погрешностей при расчетах с помощью сложных формул. Все эти погрешности носят детерминированный, неслучайный характер.
1. Метод табличный.
2. Метод аналитический – непосредственного дифференцирования.
3. Метод математического эксперимента.
К НАЧАЛУ
Основные определения теории погрешностей.
Рассмотрим последовательно эти методы. Для их применения надо знать простые понятия абсолютной и относительной погрешностей и их предельных значений. Кратко изложим их здесь.
Если имеется точное значение числа А и его приближенное значение а, то величина
D = а - А (1)
называется абсолютной погрешностью приближенного числа а. Она может иметь знаки «плюс» и «минус».
Отношение абсолютной погрешности к точному значению числа D /А называется относительной погрешностью приближенного числа а:
d = D / А. (2)
Точное значение числа А обычно не известно, иначе не было бы нужды в самой теории. Поэтому вводят понятие предельной абсолютной погрешности 
, которая определяется формально простым оценочным неравенством:
. (3)
Оно означает, что предельная абсолютная погрешность не меньше модуля абсолютной погрешности и в этом есть скрытая неопределнность формулировки.
Чем ближе мы находимся к равенству в оценке сверху (3), тем более точно указана предельная погрешность. Относительная предельная погрешность вводится естественным образом:
(4)
Предельные погрешности имеют только положительный знак по определению.
К НАЧАЛУ
Основные правила для погрешностей вычислительных операций.
При работе с погрешностями достаточно владеть небольшим количеством правил:
Правило 1. Абсолютная предельная погрешность суммы или разности приближенных чисел а1 ± а2 равна сумме предельных погрешностей слагаемых:
(5)
Правило справедливо для любого конечного числа слагаемых.
Правило 2. Относительная предельная погрешность произведения или частного двух операндов а1*а2 или а1 / а2 равна сумме относительных предельных погрешностей операндов:
(6)
Правило справедливо для любого конечного числа операндов. Например, при вычислении выражения а = (а1а2а3)/(а4а5) предельная относительная погрешность результата выражается суммой пяти слагаемых, соответствующих операндам в выражении для а:
(7)
Правило 3. Относительная предельная погрешность степени а = (а1)n выражается формулой, которую можно считать частным случаем произведения:
(8)
Правило 4. Абсолютная предельная погрешность значения функции y = f(x0) - равна произведению модуля производной функции и предельной абсолютной погрешности аргумента, т.е. определяется формулой
(9)
Перечисленных правил вполне достаточно, чтобы оценить погрешность вычисления по любой сложной формуле. К этому только надо добавить знание производных элементарных функций и правила дифференцирования функций (суммы, произведения, частного и сложной функции). Напомним эти результаты.
Таблица №1. Производные элементарных функций.
| f (x) | f ¢(x) | f (x) | f ¢(x) |
| xn | n*xn-1 | sin x | cos x |
| x2 | 2x | cos x | - sin x |
| Öx | 1/(2Öx) | tg x | 1/cos2 x |
| ax | ax *ln e | arc sin x | 1/Ö(1 – x2) |
| ex | ex | arc tg x | 1/(1 + x2) |
| loga x | (1/x)*logae | (uv) | u¢v + uv¢ |
| ln x | 1/x | (u/v) | (u¢v - uv¢)/v2 |
К НАЧАЛУ