Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

 

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида переменные уже разделены, а в ОДУ переменные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.

В этой статье сначала рассмотрим метод решения уравнений с разделенными переменными, далее перейдем к уравнениям с разделяющимися переменными и закончим дифференциальными уравнениями, сводящимися к уравнениям с разделяющимися переменными. Для пояснения теории будем подробно разбирать решения характерных примеров и задач.

При необходимости обращайтесь к разделу основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Навигация по странице.

• Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .
• Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0.
• Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .
• Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными .

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .

Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными .

Решение.

Проинтегрируем обе части равенства: . По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Мы пришли к неявно заданной функции , которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, , где . То есть, функция является общим решением исходного дифференциального уравнения.

Замечание.

Ответ можно записать в любом из трех видов или , или . Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0.

К началу страницы

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .

Прежде чем продолжить, напомним, что когда y является функцией аргумента x.

В дифференциальных уравнениях или переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как .

При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f₂(y) и g₁(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Найти все решения дифференциального уравнения .

Решение.

Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:

Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество , поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными :

В преобразованиях мы заменили C₂ - C₁ на С.

Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции . На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства:

Ответ:

.

К началу страницы

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида , a ≠ 0, b ≠ 0 приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными введением новой переменной z = ax + by, где z представляет собой функцию аргумента x.

В этом случае

После подстановки в исходное уравнение и небольших преобразований приходим к уравнению с разделенными переменными

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.

Решение.

Пусть z = 2x + y, тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение и преобразуем его к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные и интегрируем обе части равенства . Интеграл в левой части найдем методом интегрирования по частям, а интеграл в правой части является табличным:

Следовательно, . Если принять C = C₂ - C₁ и сделать обратную замену z = 2x + y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции: .

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e. Для этого подставляем x = 0 и y(0) = e в общее решение дифференциального уравнения и находим значение константы С:

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее условию y(0) = e, имеет вид .

Замечание.

В условии задачи ничего не сказано об интервале, на котором требуется найти общее решение дифференциального уравнения. В таких случаях решение проводится для всех значений аргумента x, при которых исходное дифференциальное уравнение и его решения имеют смысл. Для данного примера дифференциальное уравнение имеет смысл при .

К началу страницы

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .

 

Дифференциальные уравнения вида или могут быть сведены к ОДУ с разделяющимися переменными, если произвести замену или , где z – функция аргумента x.

Если , то и по правилу дифференцирвания дроби . В этом случае уравнения примут вид или .

Если принять , то y = x ⋅ z и по правилу производной произведения . В этому случае уравнения сведутся к или .

Пример.

Решите дифференциальное уравнение .

Решение.

Примем , тогда . Подставим в исходное уравнение:

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его.

После обратной замены получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции .

Следует остановиться на дифференциальных уравнениях вида
.

Делением числителя и знаменателя правой части на yⁿ или xⁿ такие дифференциальные уравнения приводятся к виду или .

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

В этом примере x и y отличны от нуля. Разделим и числитель и знаменатель правой части равенства на x²:

Введем новую переменную , тогда .

Подставляем в исходное уравнение

Получили дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решаем его

В этом примере можно получить решение и в явном виде. Для этого примем и воспользуемся свойствами логарифма:

Осталось сделать обратную замену y = x ⋅ z и записать ответ . Это общее решение дифференциального уравнения.

Замечание: это уравнение (как и другие подобного типа) можно решить и используя замену .

Опишем решение для этой замены.

Разделим и числитель и знаменатель на y²:

Пусть , тогда .

Подставляем все в исходное уравнение и получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . После разделения переменных приходим к равенству . Интегрируем его

Возьмем сначала интеграл . После разложения на простейшие дроби подынтегральной функции интеграл примет вид . Теперь проведем интегрирование простейших дробей:

Теперь найдем интеграл :

В итоге имеем или , где .

После проведения обратной замены и некоторых преобразований придем к тому же результату .

Сделаем вывод. В этом примере при замене решение оказалось более трудоемким, чем при замене . Для себя можно отметить, что если решение дифференциального уравнения или оказывается сложным при выбранной замене , то можно попробовать ввести другую переменную, то есть .

К началу страницы

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям или , следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x₀, y₀) - решение системы двух линейных однородных уравнений и вводятся новые переменные . После такой замены уравнение примет вид .

Разберемся на примере.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Составляем и решаем систему линейных уравнений

Делаем замену переменных

После подстановки в исходное уравнение получаем . После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем .

Вводим новую переменную , тогда

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену :

Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

 

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности, причём после изучения первых двух статей не помешает закрепить свои навыки на дополнительном практикуме – уравнения, сводящихся к однородным.

Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.

Если у вас в запасе всего день-два, то для сверхбыстрой подготовки есть блиц-курс в pdf-формате.

Итак, ориентиры расставлены – поехали:

Сначала вспомним обычные алгебраические уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид ( – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

Итак:

На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут .

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение: .

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:

После чего подставляем и производную в исходное уравнение :

– получено верное равенство, значит, общее решение удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций , , и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют... …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

4)...пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент, но дабы не накрыть «чайников» лавиной новой информации, оставлю его до следующего урока.

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :

Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:



То есть,

Стандартная версия оформления:

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение:

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:

Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части.

Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно – с большими корнями, знаками и прочим трэшем.

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)

Ответ: общий интеграл:

! Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов:
1) нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.

Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере №2), нужно:
1) убедиться, что найденное частное решение удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала: