на промежутке [– L, L ]
Система функций
(5.1)
ортогональна на промежутке [– L, L ] (см. упражнение в § 3).
Показать, что 
следует самостоятельно.
Каждой функции 
, кусочно-непрерывной на промежутке [– L, L ], сопоставим ее ряд Фурье:
. (5.2)
Коэффициенты Фурье 
, в соответствии с (3.1), определятся формулами
(5.3)
Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.
Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид
. (5.4)
Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции 
на промежутке [– L, L ].
Частичные суммы
тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции 
ее тригонометрическим полиномом Фурье,
. (5.5)
Сходимость тригонометрического ряда Фурье.
Теорема Дирихле
Функция 
называется кусочно-монотонной на промежутке 
, если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.
Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке 
, то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.
Теорема Дирихле. Если функция 
удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье 
, если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва 
; на концах промежутка 
, где 
– односторонние пределы в точке а.
Если доопределить (или переопределить) функцию 
, полагая 
в точках разрыва и f (– L) = = 
на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле
, (6.1)
где коэффициенты 
по-прежнему определяются формулами (5.3).
Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции 
в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)
(6.2)
называются гармониками. Введем в рассмотрение величины 
и 
, связанные с коэффициентами Фурье 
и 
соотношениями 
и 
. Тогда гармоника (6.2) запишется в виде 
, где 
– амплитуда гармоники; 
– ее частота; 
– начальная фаза. Множество частот 
образует дискретный частотный спектр функции на промежутке [– L, L ]. Формула (6.1) примет вид
, (6.3)
т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.
Из равенства Парсеваля (5.4) следует
, (6.4)
где 
.
Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции на промежутке [– L, L ]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.
В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [– L, L ] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2 L- периодическая функция 
, которая на промежутке [– L, L ] совпадает с заданной функцией . Функция 
, определенная указанным образом, называется периодическим продолжением .
Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.
Замечание. Если функция , заданная для всех 
, является 2 L- периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию на всей числовой оси. В этом случае можно
получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:
, (6.5)
где с – любое число.
Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция имеет период Т, то интеграл 
не зависит от а. Действительно,
Выполнив в среднем интеграле замену переменной 
и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим
Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.
Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах 
, убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).
Если функция не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции должно входить ее периодическое продолжение 
.
Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2 L, т.е. 
.