Решение геометрических головоломок
на вычёркивание 
точек ломаной
| Выполнила: | Калачина И.Г. МБОУ СОШ №4, 6б класс. |
| Руководитель: | Новоселова Татьяна Михайловна, учитель математики, МБОУ СОШ №4. |
Дивногорск
2017
ОГЛАВЛЕНИЕ
Аннотация……………………………….……………………………...…. ………………..…...3
Введение ……………….….….…..……..……..……...…..……..….….….………….………....4
Основное содержание……………………………………….…………………………………..8
§1.Составление формулы для подсчета количества звеньев ломаной………….…...……….8
§2.Решения головоломок на вычеркивание n×n точек ломаной, состоящей из 2(n-1) звеньев………………………………………………………………………………….…………9
§3.Разработка алгоритма вычеркивания n×n точек ломаной, состоящей из 2(n-1) звеньев.10
Заключение……………………………………………………………………………..….……12
Источники информации…………. ….…………………………………………………….......13
 |
АННОТАЦИЯ
Цели: Составить формулу для нахождения количества звеньев ломаной. Разработать алгоритм вычёркивания 
точек ломаной.
Задачи:
- На конкретных задачах установить взаимосвязь между количеством точек, расположенных на стороне квадрата 
и количеством звеньев ломаной.
- Обобщить взаимосвязь в виде формулы и доказать ее.
- На конкретных задачах выявить общие подходы при вычёркивании точек ломаной.
- Описать алгоритм решения таких задач.
Объект исследования:геометрические головоломки на вычёркивание точек ломаной.
Предмет исследования:решение геометрических головоломок на вычёркивание точек ломаной.
Методы проведённых исследований:анализ- синтез, обобщение, моделирование, метод математической индукции.
Основные результаты работы:
1. Получена и доказана формуладлянахождения количества звеньев ломаной длявычёркивания точек.
2. Разработан алгоритм вычёркивания 
точек ломаной.
ВВЕДЕНИЕ
«Окружающий нас мир – это мир геометрии»
Александров А. Д.
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача – это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства ее решения – это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно отдает часть своего досуга умственной гимнастике, лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием. [5, С. 3]
Математические головоломки принадлежат к числу наиболее любимых читателями жанров популярной литературы. Решая их, люди испытывают радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущают красоту и величие математики.Головоломки пробуждают в людях наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного.[2, С. 5]
Геометрия с древнейших времен помогает людям в решении многих практических задач,она развивает воображение, она говорит о формах окружающего нас мира и помогает нам познать красоту.[1, С. 5]
Геометрические головоломки - великолепная тренировка ума и мыслительных способностей, это способ не только приятного, а еще и полезного времяпровождения и интеллектуального досуга. Они развивают пространственное воображение и логическое мышление. Они требуют смекалки, сообразительности и находчивости. При разгадывании загадок необходимо перебирать множество комбинаций, прежде чем будет найден правильный ответ.А для решения геометрической головоломки, которую я предлагаю вам понадобиться всего лишь листок бумаги и ручка!
Мне предложили решить задачу на вычеркивание 9 точек, расположенных как на рисунке 1, ломаной из 4х звеньев.
Точка – неопределяемое понятие.
Ломаная –это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами так, что соседние (имеющие общую точку) отрезки не лежат на одной прямой.Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков – ее вершинами. [3, С. 97]
Решив данную задачу, я стала искать похожие задачи и обнаружила, что задача на вычеркивание 9 точек самая популярная и к ней приведены ответы в виде рисунка 2 во многих источниках [8, С.82], [9], [4, С. 49] и др.
С большим трудом я нашла еще 2 задачи: 16 точек – 6 отрезков[4, С. 49],25 точек – 8 отрезков с указанием количества точек и количества звеньев ломаной, к одной из них было два различных решениярис.3 (а, б) [9],[10], а к другой одно решение рис. 3 (в)[11]:
Видим, что единого подхода в решениях нет и поскольку других задач я не нашла, то мнестало интересно, существует ли формула для нахождения количества звеньев ломаной и алгоритм вычёркивания 
точек ломаной, то есть у меня возникли проблемные вопросы:
- Есть ли взаимосвязьмеждуколичеством точек и количеством звеньев ломаной?
- Существует ли единый подход вычеркивания точек?
Я определила следующие цели: Составить формулу для нахождения количества звеньев ломаной. Разработать алгоритм вычёркивания точек ломаной.
Для достижения целей необходимо выполнение таких задач, как:
· На конкретных задачах установить взаимосвязь между количеством точек, расположенных на стороне квадрата и количеством звеньев ломаной.
· Обобщить взаимосвязь в виде формулы и доказать ее.
· На конкретных задачах выявить общие подходы при вычёркивании точек ломаной.
· Описать алгоритм решения таких задач.
Объект исследования: геометрические головоломки на вычёркивание 
точек ломаной.
Предмет исследования: решение геометрических головоломок на вычёркивание точек ломаной.
Методы проведённых исследований:
Анализ (расчленение объекта на составляющие его части) –это способ познания объекта посредством изучения его частей и свойств. [7, С. 39]
Синтез (соединение в единое целое частей или свойств объекта) – это способ познания объекта посредством объединения в целое частей и свойств, выделенных в результате анализа. [7, С. 39]
Анализ и синтез сосуществуют, друг друга дополняя. Анализ-синтез я использовала при работе с информацией, при нахождении закономерностей.
Сравнение – это способ познания объекта посредством установления сходства и (или) различия объектов по каким-либо признакам.[7, С. 39]
Сравнение как метод исследования мне был необходим при нахождении закономерностей.
Обобщение (объединение объектов или их свойств в одну общность по основным признакам)– это способ познания объекта посредством определения общих существенных признаков объектов. Обобщение базируется на анализе и синтезе, направленных на становление существенных признаков объектов, а также на сравнении, которое позволяет определить существенные признаки.[7, С. 39]
Я применяла обобщение при формулировании выводов.
Знаковое моделирование –это моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, набор символов и т.д. [7, С. 38]
В своей работе я моделирование использовала при составлении формулы и решениях головоломок, которые представлены в виде рисунков.
Метод математической индукции [6, С. 3]
Принцип математической индукции
Пусть имеется какое-то утверждение, зависящее от натурального n. Если это утверждение истинно при n=1 и из истинности его при каком-то произвольном натуральном n = k следует его справедливость и при следующем n, равном k+1, то данное утверждение верно для всех натуральных n.
Способ доказательства математических утверждений с помощью принципа математической индукции называется методом математической индукции, который состоит в следующем:
1. Проверяют истинность утверждения при n=1 – первый шаг доказательства (первый индукционный шаг).
2. Допускают, что утверждение справедливо при n=k, где k – произвольное натуральное число (кϵN), и доказывают, что тогда утверждение верно и при n=k+1 – второй шаг доказательства (второй индукционный шаг).
Если обе части доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции утверждение истинно для всех натуральных n (nϵN) – вывод.
В самом деле, если утверждение справедливо при n =1, то по доказанному в шаге 2 оно верно и при n =1+1 = 2. Далее, из того, что оно верно при n = 2 вытекает его справедливость при n = 2 +1 = 3. Затем от n = 3 переходят к n = 4 и т.д. Ясно, что при этом рано или поздно мы доберемся до любого натурального числа n, а потому данное утверждение истинно для всех nϵN.
Метод математической индукции позволил мне проверить истинность гипотезы, то есть доказать справедливость формулы для вычисления количества звеньев ломаной.
Все рисунки выполнены в программе Graph Markup Language.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ