Что касается самого шоу, Монти Холл знал это, потому что даже если его соперники не были сильны в математике, он разбирается в ней хорошо. Вот что он делал, чтобы немного изменить игру. Если вы выбирали дверь, за которой находился приз, вероятность чего равна 1/3, он всегда предлагал вам возможность выбрать другую дверь. Ведь вы выбрали легковой автомобиль и затем вы поменяете его на козла и будете выглядеть довольно глупо, а это именно то, что ему нужно, потому что он своего рода злой парень. Но если вы выберите дверь, за которой не будет приза, только в половине таких случаев он предложит вам выбрать другую дверь, а в иных случаях он просто покажет вам вашего нового козла, и вы уйдете со сцены. Давайте проанализируем эту новую игру, в которой Монти Холл может выбрать предлагать вам шанс выбрать другую дверь или нет.
Предположим, он следует данному алгоритму: если вы выбираете дверь с призом, он всегда предлагает вам возможность выбрать другую дверь, в ином случае вероятность того, что он предложит вам выбрать другую дверь или подарит козла равна 50/50. Какова вероятность вашего выигрыша?
В одном из трёх вариантов вы сразу выбираете дверь, за которой находится приз, и ведущий предлагает вам выбрать другую дверь.
Из оставшихся двух вариантов из трёх (вы изначально выбираете дверь без приза) в половине случаев ведущий предложит вам выбрать другую дверь, а в другой половине случаев — нет. Половина от 2/3 это 1/3, т.е. в одном случае из трёх вы получите козла, в одном случае из трёх вы выберите неправильную дверь и ведущий предложит вам выбрать другую и в одном случае из трёх вы выберите правильную дверь, и он предложит вам выбрать другую дверь.
Если ведущий предлагает выбрать другую дверь, мы уже знаем, что тот один случай из трёх, когда он дарит нам козла, и мы уходим, не произошел. Это полезная информация, потому что это значит, что наши шансы на выигрыш изменились. В двух случаях из трёх, когда у нас есть возможность выбрать, в одном случае это значит, что мы угадали правильно, а в другом, что мы угадали неправильно, поэтому если нам вообще предложили возможность выбрать, это значит, что вероятность нашего выигрыша равна 50/50, и нет никакой математической выгоды, оставаться при своём выборе или выбирать другую дверь.
Как и покер, теперь это игра психологическая, а не математическая. Монти предложил вам выбор, потому что он думает, что вы простофиля, который не знает, что выбрать другую дверь — это “правильное” решение, и что вы упорно будете держаться за свой выбор, потому что психологически ситуация, когда вы выбрали автомобиль, а затем потеряли его, сложнее? Или он думает, что вы умный и выберите другую дверь, и он предлагает вам этот шанс, потому что он знает, что вы угадали изначально правильно и что вы попадётесь на крючок и окажетесь в ловушке? Или может быть он нетипично добр для себя и подталкивает вас сделать что-то в вашем личном интересе, потому что он уже давно не дарил легковой автомобиль, и его продюсеры говорят ему, что зрителям становится скучно и лучше бы он подарил большой приз в скором времени, чтобы рейтинги не падали?
Таким образом, Монти удается предлагать выбор (иногда) и при этом общая вероятность выигрыша остается равной 1/3. Помните, что вероятность того, что вы проиграете сразу, равна 1/3. Вероятность того, что вы угадаете сразу правильно, равна 1/3, и в 50% этих случаев вы выиграете (1/3 x 1/2 = 1/6). Вероятность того, что вы угадаете сначала неправильно, но потом у вас будет шанс выбрать другую дверь, равна 1/3, и в 50% этих случаев вы выиграете (также 1/6). Суммируйте две независящие друг от друга возможности выигрыша, и вы получите вероятность равную 1/3, поэтому не важно останетесь вы при своём выборе или выберите другую дверь, общая вероятность вашего выигрыша на протяжении всей игры равна 1/3… вероятность не становится больше, чем в той ситуации, когда вы бы угадали дверь и ведущий бы вам показал, что находится за этой дверью, без возможности выбрать другую дверь! Поэтому смысл предлагать возможность выбрать другую дверь не в том, чтобы изменить вероятность, а в том, чтобы сделать процесс принятия решения более увлекательным для телевизионного просмотра.
Кстати, это одна из тех самых причин, почему покер может быть таким интересным: в большинстве форматов между раундами, когда делаются ставки (например, флоп, терн и ривер в техасском холдеме), постепенно открываются карты, и если в начале игры у вас одна вероятность выиграть, то после каждого раунда ставок, когда открыто больше карт, эта вероятность меняется.