Степень с целым показателем

После того как мы определили степень числа a с натуральным показателем, возникает логичное стремление расширить понятие степени и перейти к степени числа, показателем которой будет любое целое число, в том числе и отрицательное и нуль. Это следует делать так, чтобы оставались справедливыми все свойства степени с натуральным показателем, так как натуральные числа являются частью целых чисел.

Степень числа a с целым положительным показателем есть не что иное как степень числа a с натуральным показателем: , где n - целое положительное число.

Теперь определим нулевую степень числа a. Будем исходить из свойства частного степеней с одинаковыми основаниями: для натуральных чисел m и n, m<n и отличного от нуля действительного числа a выполняется равенство a^m:aⁿ=a^m−n (условие a≠0 необходимо, так как в противном случае мы бы имели деление на нуль). При m=n записанное равенство нас приводит к следующему результату aⁿ:aⁿ=aⁿ⁻ⁿ=a⁰. Но с другой стороны aⁿ:aⁿ=1 как частное равных чисел aⁿ и aⁿ. Следовательно, приходится принять a⁰=1 для любого отличного от нуля действительного числа a.

А как же быть с нулем в нулевой степени? Подход, примененный в предыдущем абзаце, не подходит для этого случая. Можно вспомнить про свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями a^m·aⁿ=a^m+n, в частности при n=0 имеем a^m·a⁰=a^m (из этого равенства тоже видно, что a⁰=1). Однако, при a=0 мы получим равенство 0^m·0⁰=0^m, которое можно переписать как 0=0, оно верно при любом натуральном m вне зависимости от того, чему равно значение выражения 0⁰. Иными словами, 0⁰ может быть равно любому числу. Чтобы избежать этой многозначности, не будем приписывать нулю в степени нуль никакого смысла (по этим же соображениям при изучении деления мы не стали придавать смысл выражению 0:0).

Несложно проверить, что принятое нами равенство a⁰=1 для отличных от нуля чисел a согласуется со свойством степени в степени (a^m)ⁿ=a^m·n. Действительно, при n=0 имеем (a^m)⁰=1 и a^m·0=a⁰=1, а при m=0 имеем (a⁰)ⁿ=1ⁿ=1 и a^0·n=a⁰=1.

Так мы пришли к определению степени с нулевым показателем. Степень числа a с нулевым показателем (a отличное от нуля действительное число) равна единице, то есть, a⁰=1 при a≠0.

Приведем примеры: 5⁰=1, (33,3)⁰=1, , а 0⁰ – не определено.

Нулевую степень числа a определили, осталось определить целую отрицательную степень числа a. В этом нам поможет все то же свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями a^m·aⁿ=a^m+n. Примем m=−n, что требует условия a≠0, тогда a⁻ⁿ·aⁿ=a⁻ⁿ⁺ⁿ=a⁰=1, откуда заключаем, что aⁿ и a⁻ⁿ – взаимно обратные числа. Таким образом, логично определить число a в целой отрицательной степени −n как дробь . Несложно проверить, что при таком задании степени отличного от нуля числа a с целым отрицательным показателем остаются справедливыми все свойства степени с натуральным показателем (смотрите свойства степени с целым показателем), к чему мы и стремились.

Озвучим определение степени с целым отрицательным показателем. Степень числа a с целым отрицательным показателем −n (a отличное от нуля действительное число) – это есть дробь , то есть, при a≠0 и натуральном n.

Рассмотрим данное определение степени с целым отрицательным показателем на конкретных примерах: .

Подытожим информацию этого пункта.

Определение.

Степень числа a с целым показателем z определяется так: