3.Гамаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавриата и магистратуры/ А.Н. Гамаш, И.В. Орлова, В.В.Федосеев. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 328с.
Независимо от вида и способа построения экономическо-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования [3,180].
Трендовая модель 
, конкретного времени ряда 
, считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента 
удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда, случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.
Проверка случайности колебаний уровней станочной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда мы располагаем набором разностей .
Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из этих критериев является критерий серий, основанных на медиане выборки. Ряд из величин 
располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану 
полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном n, или среднюю арифметическую из двух срединных значений, при n четном. Возвращаясь к исходной последовательности и сравнивая значения этой последовательности с , будем ставить знак «плюс», если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее значение опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией.
Для того чтобы последовательность была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий – слишком малым [3,180].
Обозначим протяженность самой длинной серии через K max, а общее число серий – через 
. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5% - ного уровня значимости:
| (9) |
где квадратные скобки означают, целую часть числа.
Если хотя бы одно их этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно трендовая модель признается неадекватной.
Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (повторных точек). Уровень последовательности считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е.
, и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. 
. В обоих случаях считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности обозначим через р. В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота 
и дисперсией 
выражаются формулами:
| (10) |
Критерием случайности c 5%-ным уровнем значимости, т.е с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства
| (11) |
где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.
Проверка соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии 
и эксцесса 
, так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Отклонение от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:
| (12) |
В этих формулах 
- выборочная характеристика асимметрии; 
- выборочная характеристика эксцесса; 
и 
- соответствующие среднеквардратические ошибки.
Если одновременно выполняются следующие неравенства:
то гипотеза о нормальном характере распределения остаточной последовательности принимается.
Если выполняется хотя бы одно из неравенств
то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.
Кроме рассмотренного метода известен ряд других методов проверки нормальности закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS -критерий и т.д.
Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой [3,183]
| (13) |
где 
-среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности ;
- стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.
Если расчетное значение t меньше табличного значения 
статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости 
и числом степенной свободы n -1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания остаточной последовательности принимается; в противном случае это гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.
Следует отметить, что проверку данного свойства на основе t -критерия имеет смысл проводить лишь в том случае, когда это свойства не очевидно из самого значения величины .
Проверка независимости значений уровней остаточной последовательности, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенными из которых является d- критерий Дарбина -Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле
| (14) |
Значение критерия Дарбина –Уотсона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи, в этом случае его надо преобразовать по формуле 
и в дальнейшем использовать значение 
.
Расчетное значение критерия d (
) сравнивается с верхним d 2 и нижним d 1 критическими значениями статистики Дарбина –Уотсона.
Если расчетное значение критерия d 2, то гипотеза о независимости уравнений остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается. Если значение d находится между значениями d 1 и d 2, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и необходимы дальнейшие исследования.
Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат. Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их точности. Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя). Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем с использованием модели, при этом в качестве статистических показателей точности применяются следующие:
-средне квадратическое отклонение
| (15) |
-средняя относительная ошибка аппроксимации
| (16) |
-коэффициент сходимости
| (17) |
-коэффициент детерминации
R2=1- 
| (18) |
и другие показатели, в приведенных формулах n – количество уровней ряда, k – число определяемых параметров модели, - оценка уровней ряда по модели, 
- среднее арифметическое значение уровней ряда.
На основании указанных показателей можно сделать выбор из нескольких адекватных трендовых моделей экономической динамики наиболее точной, хотя может встретиться случай, когда по некоторому показателю более точна одна модель, а по другому – другая.
Данные показатели точности моделей рассчитываются на основе всех уровней временного ряда и поэтому отражают лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных свойств модели целесообразно использовать так называемый ретроспективный прогноз – подход, основанный на выделении участка из ряда последних уровней исходного временного ряда в количестве, допустим n 2 уровней в качестве проверочного, а саму трендовую модель в этом случае следует строить по первым точкам, количество которых будет равно n1=n-n2. Тогда для расчета показателей точности модели по ретроспективному прогнозу применяются те же формулы, но суммирование в них будет вестись не по всем наблюдениям, а лишь по последним n 2 наблюдениям.
Тема 3. 2.Стандартные пакеты прикладных программ для решения задач математического программирования.
Тема 4. 9.Место исследования операций в управленческом процессе.
Тема 5. 4.Основные понятия исследований операций.